Teorema del emparedado

En cálculo, el teorema del emparedado[nota 1]​ es un teorema usado en la determinación del límite de una función.Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático.Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable.Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π, aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados.En particular, permite afirmar que el límite Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.[1]​ Este resultado es muy importante, pues permite, entre otras cosas, calcular las derivadas de las funciones trigonométricas en un punto.[2]​ El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como: Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que, para todo x en I y diferente de a, tenemos: y supongamos también que: Entonces: Esto da lugar a las siguientes implicaciones.De ambas implicaciones se deduce que, para x en (a–δ1, a+δ1) ∩ (a–δ2, a+δ2), pero designando δ como el mínimo entre δ1 y δ2, la pertenencia de x a la intersección de los referidos entornos equivale a afirmar que x está en (a–δ, a+δ).Formalmente se acaba de deducir que puesto que se asumió x distinto de a desde el principio.La implicación anterior equivale a la definición del Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x), o también funciones minorante y mayorante de f(x), respectivamente.dos funciones definidas en un mismo dominio, yun punto de acumulación en el referido dominio.Puede demostrarse el siguiente caso particular del teorema de intercalación.Infinitésimo por acotadaentonces Basta ver que, como f es acotada, luego, En virtud de la continuidad de la función valor absoluto, se tiene por el teorema del sándwichEl teorema aplica a funciones de varias variables, por ejemplo para funciones escalares de la forma conPara un punto de acumulación{\displaystyle (a,b)\in D}, el teorema se enuncia de la siguiente manera: Seanque satisfacen entonces El teorema puede ser extendido también a cualquier función con dominio en{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}[3]​ Para calcular el límite que es una indeterminación del tipo se siguen los siguientes pasos:[1]​ 1.Se toma la relación, sin pérdida de generalidad.Por el teorema de sándwich se concluye que Un razonamiento similar permite calcular el límite doble ya que pero comoentonces por el teorema del sándwich, Existen, entre otras, versiones del teorema del emparedado para sucesiones y para series.y sea la sucesióntal que existedos series convergentes y sea