El Logaritmo Natural suele ser erróneamente conocido como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos.

En matemáticas, se denomina Logaritmo Natural al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es

Desde el punto de vista analítico, el logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo

La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.

[2]​ Esta definición puede extenderse a los números complejos.

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668,[1]​ a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell que ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural.

A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

Inicialmente, y desde que el sistema decimal se convirtió en el sistema de numeración más común, podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que la base e.

[6]​[7]​[8]​ loge es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, en matemáticas.

Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:[9]​ Si la base

Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera de otra base.

Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo.

Como ejemplo, tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural.

Además de que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.

[10]​ El logaritmo natural puede ser definido de distintas formas, todas equivalentes.

Mediante la definición logaritmo pueden demostrarse las siguientes propiedades: Para

entonces Por definición esta integral puede descomponer como Realizando el cambio de variable

entonces como entonces se sigue que Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes: La derivada del logaritmo natural viene dada por Si el logaritmo natural está definido como entonces la derivada de

Si el logaritmo natural está definido como la inversa de la función exponencial entonces la derivada (para

Haciendo un cambio de variable se obtiene para

Utilizando la identidad funcional y sustituyendo

en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguiente serie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x: Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para valores x con valor absoluto mayor que 1: Nótese que

es su propia función inversa, con lo que para obtener el logaritmo natural de un cierto número y es suficiente con sustituir

Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente: En otras palabras, También se puede ver de esta manera, Un error muy común es escribir

, sin embargo eso incorrecto y contradice la propia definición de

El logaritmo natural puede ser integrado utilizando el método de integración por partes, esto es utilizando la fórmula Si consideramos entonces Para

, cuanto más cercano sea el valor de x a 1, más rápido será el ritmo de convergencia hacia el valor del logaritmo.

Las propiedades asociadas con el logaritmo se pueden utilizar para acelerar la obtención del valor del logaritmo: Históricamente, estas técnicas se utilizaron antes del uso de las calculadoras y ordenadores, incluso se hacia uso de tablas numéricas, y se realizaban artificios aritméticos como los observados arriba.

, y otro factor igual a una potencia de 10: Esto significa que se puede calcular efectivamente los logaritmos de números con magnitudes muy grande o muy pequeña, usando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango:

Si bien no hay fracciones continuas simples, están disponibles varias fracciones continuas generalizadas, entre las cuales incluyen: