Los números a0, a1, a2,..., as se llaman elementos o cocientes incompletos.
[3] Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.
Estamos familiarizados con la representación decimal: donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}.
Otro problema es que muchos racionales no tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …).
La representación en fracción continua de los números reales evita ambos problemas.
Pero el denominador 2 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que 415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6).
Quitando las partes redundantes de la expresión 4+1/(2+1/(6+1/7)), se obtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7].
Si truncamos una representación decimal, obtenemos una aproximación racional, pero habitualmente no la mejor.
Si truncamos la representación decimal de π obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100.
Aryabhata (476-550) las usó para resolver ecuaciones diofánticas, así como para dar aproximaciones precisas de números irracionales.
Desarrolló los fundamentos del método chakravala, usando cálculos parecidos a los de las fracciones continuas.
Un algoritmo, análogo al de las fracciones continuas, permitió resolver un caso general.
La diferencia más notable era que admitía números negativos en la fracción, acelerando la convergencia.
Remarcó que las aproximaciones obtenidas son alternativamente superiores e inferiores a la raíz cuadrada buscada.
Utilizó una fracción continua para construir una sucesión que convergía a
Estos resultados fueron publicados por John Wallis, que aprovechó para demostrar las relaciones de recurrencia utilizadas por Brouncker y Baskara II.
Esta utilización vino a ser frecuente durante el siglo XIX.
Évariste Galois encontró una condición necesaria y suficiente para que una fracción continua sea inmediatamente periódica.
Charles Hermite (1822-1901) estableció nuevos métodos para demostrar la trascendencia de
es un real no negativo y los demás son estrictamente positivos.
y se llama Desarrollo en fracción continua de x. Teorema 3El desarrollo en fracción continua de x es finito si y solo si x es racional.
Podemos así dar un sentido a una fracción continua entera infinita y escribir: donde
Teorema 5Sea x un real representado por una fracción continua entera infinita
Existe una cantidad infinita de racionales tales que: Además, la constante
, es uno de los irracionales que peor se aproxima con fracciones continuas; sus reducidas, (5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.), distan casi exactamente
= [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] o bien Utilizando fracciones continuas generalizadas obtenemos desarrollos con estructuras más regulares Sea raíz cuadrada de dos:
Esta técnica fue utilizada por Euler, que determinó la fracción continua del número
la demostró por primera vez Johann Heinrich Lambert en 1761 basándose en el desarrollo en fracción continua generalizada de la función tangente.
Este hecho, demostrado por Lagrange, permite dar soluciones, si bien más teóricas que algorítmicas, a la ecuación de Pell.
Obsérvese que es necesario tener un número entre 0 y 1, para obtener la fracción continua, desde otra perspectiva; véase el mismo cálculo...