Transformada binomial

En matemáticas, en el campo de la combinatoria, la transformada binomial es una transformación de sucesiones, o sea, una transformación de una sucesión, que se obtiene calculando sus diferencias anteriores.Está relacionada con la transformada de Euler, que es el resultado de aplicar la transformada binomial a la sucesión asociada con la función generadora ordinaria.Otro caso especial se aplica a la serie hipergeométrica.La transformada binomial, T, de una sucesión,definida como Formalmente, la transformación se escribe comoSe puede recuperar la serie original con La transformada binomial de una sucesión es la n-ésima diferencia anterior de la sucesión, igual a donde Δ es el operador de diferencia anterior.Algunos autores definen a la transformada binomial con un signo adicional, de manera que no sea inversa consigo misma: cuya inversa es La transformada binomial es el operador de desplazamiento para los números de Bell.La transformada conecta las funciones generadoras asociadas con las series.Por lo general los términos del lado derecho de la igualdad, se reducen en forma mucho más rápida, permitiendo de esta manera una sumación numérica rápida.En este caso, la transformada de Euler toma la siguiente forma: La transformada binomial, y su variación la transformada de Euler, se destacan por su conexión con la representación de un número mediante fracción continua.tal que su representación en fracción continua es entonces y Considerando la función generadora exponencial, sea y entonces La transformada de Borel convierte a una función generadora ordinaria en la función generadora exponencial.Prodinger dio una transformación relacionada, de tipo modular: sea lo cual conduce a donde U y B son las funciones generadoras ordinarias asociadas con las seriesLa transformada k-binomial ascendente se define algunas veces como La transformada k-binomial descendente es Ambas son homomorfismos del kernel de la transformada de Hankel de una serie.