Combinatoria
Muchas cuestiones combinatoriales han sido históricamente consideradas aisladamente, dando una solución adecuada a un problema que surge en algún contexto matemático.
A finales del siglo XX, sin embargo, se desarrollaron métodos teóricos poderosos y generales, convirtiendo la combinatoria en una rama independiente de las matemáticas por derecho propio.
La combinatoria se utiliza con frecuencia en informática para obtener fórmulas y estimaciones en el análisis de algoritmos.
La combinatoria estudia tres tipos de casos con elementos finitos: combinaciones, variaciones y permutaciones en este caso sin repetición, dado que cada elemento solo puede aparecer una sola vez en cada evento.
Ejemplo: En una carrera con 6 atletas, ¿de cuántas formas distintas podrían repartirse las medallas de oro y plata?
Solución: números distintos y son: Las permutaciones con repetición son las posibles ordenaciones de una secuencia de n signos entre los que hay algunos repetidos (uno se repite x veces, otro y veces, otro z veces… etc.).
El historiador griego Plutarco debatió con Crisipo de Solos (siglo III a. C.) e Hiparco de Nicea (siglo II a. C.) sobre un problema enumerativo un tanto delicado, el cual se demostró más adelante que guardaba relación con el número Schröder–Hiparcos.
[1][2] En la Edad Media, la combinatoria continuó siendo estudiada, sobre todo fuera de la civilización Europea.
Trabajos de Pascal, Newton, Jacob Bernoulli y Euler se volvieron fundamentales en el emergente campo.
[7] En parte, el crecimiento fue estimulado por las nuevas conexiones y aplicaciones en otros campos, desde álgebra hasta probabilidades, desde el análisis funcional a la teoría de números, etc.
Diferentes autores proponen varias divisiones de la combinatoria por lo que cualquier listado es meramente indicativo.
La forma de doce veces mayor proporciona un marco unificado para contar las permutaciones, combinaciones y particiones.
Cabe señalar que, si bien hay conexiones muy fuertes entre la teoría de grafos y la combinatoria, a veces estos dos se consideran sujetos separados.
Los principales elementos estudiados son estructuras análogas a las encontradas en geometrías continuas (plano euclidiano, espacio proyectivo real, etc.) pero definidas combinatorialmente.
Esta área proporciona una rica fuente de ejemplos para la teoría del diseño.
No solo la estructura sino también las propiedades enumerativas pertenecen a la teoría del matroide.
Los tipos de preguntas abordadas en este caso son sobre el mayor grafo posible que satisface ciertas propiedades.
Por ejemplo, el mayor grafo libre de triángulos en 2n vértices es un grafo bipartito completo Kn, n. A menudo es demasiado difícil incluso para encontrar la respuesta extrema f(n) exactamente y solo se puede dar una estimación asintótica.
Indica que cualquier configuración suficientemente grande contendrá algún tipo de orden.
En la combinatoria probabilística, las preguntas son del tipo siguiente: ¿cuál es la probabilidad de una cierta propiedad para un objeto aleatorio discreto, tal como un grafo al azar?
Se trata de estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación y división).
La combinatoria aditiva se refiere al caso especial cuando solo están involucradas las operaciones de suma y resta.
Gian-Carlo Rota usó el nombre de combinatoria continua para describir la probabilidad geométrica, ya que hay muchas analogías entre el recuento y la medida.
Se denominará con la letra n al número de elementos que forman la muestra.
La combinatoria enumerativa estudia las técnicas y métodos que permiten resolver problemas anteriores, así como otros más complejos, cuando el número de elementos del conjunto es arbitrario.
y un posible listado de subconjuntos podría ser Conforme aumenta el listado (y dado que hay una cantidad finita de opciones), el proceso se hace cada vez más complicado.
La respuesta a este problema es que si el conjunto original tiene n elementos, entonces el listado puede tener como máximo
Este principio puede extenderse a tres o más conjuntos, en tal caso, dice que si
una colección de propiedades o condiciones que son cumplidas por al menos un elemento del conjunto S. Se indica mediante
Análogamente para el desarrollo del cubo de un binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 que también puede reescribirse como:
