Sistema dinámico
El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se pueden elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.
Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.
El tiempo puede medirse por números enteros, por real o número complejo o puede ser un objeto algebraico más general, perdiendo la memoria de su origen físico, y el espacio puede ser múltiple o simplemente un conjunto, sin necesidad de una estructura espacio-temporal de suave definida sobre él.
Este estado suele venir dado por una tupla de números reales o por un vector en una variedad geométrica.
En física, un sistema dinámico' se describe como una "partícula o conjunto de partículas cuyo estado varía con el tiempo y, por tanto, obedece a ecuaciones diferencialess que implican derivadas temporales".
[3] Para realizar una predicción sobre el comportamiento futuro del sistema, se realiza una solución analítica de dichas ecuaciones o su integración en el tiempo mediante simulación por ordenador.
El concepto de sistema dinámico tiene su origen en la mecánica newtoniana.
Para determinar el estado para todos los tiempos futuros se requiere iterar la relación muchas veces, avanzando cada vez un pequeño paso.
Para sistemas dinámicos sencillos, a menudo basta con conocer la trayectoria, pero la mayoría de los sistemas dinámicos son demasiado complicados para entenderlos en términos de trayectorias individuales.
Las dificultades surgen porque: Muchos consideran al matemático francés Henri Poincaré como el fundador de los sistemas dinámicos.
Estos trabajos incluían el teorema de recurrencia de Poincaré, que afirma que ciertos sistemas, tras un tiempo suficientemente largo pero finito, volverán a un estado muy próximo al inicial.
Aleksandr Lyapunov desarrolló muchos métodos de aproximación importantes.
En 1913, George David Birkhoff demostró el "Último teorema geométrico" de Poincaré, un caso especial del problema de los tres cuerpos, resultado que le dio fama mundial.
Su primera contribución fue el Herradura de Smale que impulsó una importante investigación en sistemas dinámicos.
También esbozó un programa de investigación llevado a cabo por muchos otros.
[10] Su trabajo pionero en dinámica no lineal aplicada ha sido influyente en la construcción y mantenimiento de máquinas y estructuras habituales en la vida cotidiana, como barcos, grúas, puentes, edificios, rascacielos, motores a reacción, motores de cohetes, aviones y naves espaciales.
[11] En el sentido más general,[12][13] un sistema dinámico es una tupla (T, X, Φ) donde T es un monoide, escrito aditivamente, X es un conjunto no vacío y Φ es una función.
y por lo tanto que Φ define una acción monoide de T en X.
para todo x en S. Es decir, el flujo a través de x debe estar definido para todo el tiempo para cada elemento de S. Más comúnmente hay dos clases de definiciones para un sistema dinámico: una está motivada por ecuación diferencial ordinarias y es geométrica en sabor; y la otra está motivada por teoría ergódica y es teoría de la medida en sabor.
) tal que f t es un difeomorfismo de la variedad respecto a sí misma.
Un sistema din'amico real, sistema din'amico en tiempo real, tiempo continuo sistema din'amico, o flujo es una tupla (T, M, Φ) con T un intervalo abierto en el número real R, M un colector localmente difeomorfo a un espacio de Banach, y Φ una función continua.
Un sistema din'amico discreto, tiempo discreto sistema din'amico' es una tupla (T, M, Φ), donde M es una manifold localmente difeomorfa a un espacio de Banach, y Φ es una funci'on.
Si T se restringe a los enteros no negativos llamamos al sistema una semicascada.
Los sistemas dinámicos suelen definirse sobre una única variable independiente, considerada como tiempo.
Estos sistemas son útiles para modelar, por ejemplo, el procesamiento de imágenes.
Aunque perdemos la estructura diferencial del sistema original ahora podemos utilizar argumentos de compacidad para analizar el nuevo sistema (R, X*, Φ*).
Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos; estos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:
donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con este.
Un sistema dinámico discreto determinista general puede modelarse mediante una ecuación abstracta del tipo: Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo: donde x es la variable que cambia con el tiempo t. La variable cambiante x es normalmente un número real, aunque también puede ser un vector en Rk.
Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles.
