Teoría ergódica
La teoría ergódica se dedica principalmente al estudio matemático del comportamiento promedio a largo plazo de los sistemas dinámicos.
El teorema de von Neumann se refiere a convergencia en L1, mientras que el de Birkhoff se refiere a la convergencia puntual.
La noción de sistemas dinámicos deterministas supone que las ecuaciones que determinan la dinámica no contienen ninguna perturbación aleatoria, ruido o factor de alteración.
Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de mecánica estadística.
El primer resultado en esta dirección es el teorema de recurrencia de Poincaré, que afirma que casi todos los puntos en cualquier subconjunto del espacio fásico finalmente vuelven a ser parte del conjunto.
Los sistemas para los que se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré son conservativos, y por lo tanto, todos los sistemas ergódicos son conservativos.
Varios teoremas ergódicos proporcionan información más precisa que afirma que, bajo ciertas condiciones, el promedio temporal de una función de las trayectorias existe casi en todas partes y está relacionado con el promedio espacial.
Para la clase especial de sistemas ergódicos, este promedio de tiempo es el mismo para casi todos los puntos iniciales: estadísticamente hablando, el sistema que evoluciona durante mucho tiempo olvida su estado inicial.
También se han estudiado ampliamente propiedades más fuertes, como el mezclado y la equidistribución.
Las diversas nociones de proceso estocástico para sistemas dinámicos desempeñan un papel destacado en la teoría ergódica y sus aplicaciones a la entropía.
La intuición detrás de tales transformaciones es que actúan sobre un conjunto determinado realizando un trabajo minucioso consistente en remover sus elementos.
Más precisamente, el punto a punto o teorema ergódico fuerte establece que el límite en la definición del promedio temporal de ƒ existe para casi cada x y que la (definida casi en todas partes) función límite
Entonces, los teoremas ergódicos puntuales dicen que la velocidad promedio de todas las partículas en un momento dado es igual a la velocidad promedio de una partícula en el tiempo.
[1] Sea U un operador unitario sobre un espacio de Hilbert H; o de manera más general, un operador lineal isométrico (es decir, un operador lineal no necesariamente sobreyectivo que satisface ‖Ux‖ = ‖x‖ para todo x en H, o de manera equivalente, que satisface U*U = I, pero no necesariamente UU* = I).
Entonces, para cualquier x en H, se tiene: donde el límite se toma con respecto a la norma en H. En otras palabras, la secuencia de promedios converge a P en topología de operador fuerte.
De hecho, no es difícil ver que en este caso cualquier
La primera parte es invariante en todas las sumas parciales a medida que
Este último también puede caracterizarse como el espacio de todas las T- funciones invariantes Lp en X.
Además, es cierto si 1 < p ≤ ∞ entonces el teorema de convergencia ergódica dominada de Wiener-Yoshida-Kakutani establece que las medias ergódicas de ƒ ∈ Lp están dominadas en Lp; sin embargo, si ƒ ∈ L1, es posible que los medios ergódicos no logren ser equidominados en Lp.
Gran parte del desarrollo descrito allí se generaliza a variedades hiperbólicas, ya que pueden verse como cocientes del espacio hiperbólico por la acción de un retículo en el grupo de Lie semisimple SO(n,1).
La ergodicidad del flujo geodésico en un espacio simétrico de Riemann fue demostrada por F. I. Mautner en 1957.
En 1967, Dmitri Anósov y Yákov Sinái demostraron la ergodicidad del flujo geodésico en variedades compactas de curvatura seccional negativa variable.
En la década de 1930, G. A. Hedlund demostró que el flujo del horociclo en una superficie hiperbólica compacta es mínimo y ergódico.
Elon Lindenstrauss demostró un resultado parcial importante (resolver estas conjeturas con un supuesto adicional de entropía positiva), y recibió la medalla Fields en 2010 por este resultado.
