Espacio hiperbólico
, es la variedad riemanniana maximalmente simétrica, simplemente conexa de dimensión n con curvatura seccional constante negativa.
, su métrica de curvatura negativa le da propiedades geométricas muy diferentes.
Este axioma no caracteriza de forma única el plano hiperbólico salvo isometría, sino que es necesario añadir una constante adicional, la curvatura
Sin embargo, lo caracteriza unívocamente salvo homotecia, es decir, salvo biyecciones que solo que solo cambian la noción de distancia por una constante general.
Eligiendo una constante adecuada, se puede asumir sin pérdida de generalidad que
Todos ellos modelan la misma geometría en el sentido de que pueden relacionarse entre sí por transformaciones que preservan todas las propiedades geométricas del espacio, incluyendo isometría (aunque no con respecto a la métrica del embebimiento euclídeo).
como Esta función satisface los axiomas de un espacio métrico.
Se preserva bajo la acción del grupo de Lorentz en
Un modelo alternativo de la geometría hiperbólica se define en un cierto dominio del espacio proyectivo.
viene definida por Esta distancia está bien definida en el espacio proyectivo, ya que el argumento del coseno hiperbólico inverso es homogéneo de grado 0.
se reproduce la definición de distancia dada para el modelo del hiperboloide.
Las geodésicas en este modelo son semicírculos perpendiculares a la esfera frontera de
Esto envía circunferencias en rectas y es además una transformación conforme.
A lo largo de este artículo se han presentado distintos modelos del espacio hiperbólico, junto con sus distancias.
En este apartado daremos expresiones (centrándonos, por sencillez, en el caso bidimensional) a objetos esenciales de la geometría riemanniana como son la métrica, los símbolos de Christoffel o las geodésicas.
Comenzaremos con la expresión más intuitiva, que es la métrica del semiespacio de Poincaré: Para el caso del semiplano de Poincaré, el efecto de esta métrica es evidente, "separar infinitamente los puntos del eje y, mientras se acortan las distancias entre puntos lejanos a dicho eje".
Todo esto, claro, respecto de la métrica heredada por el semiplano del espacio euclídeo.
La pregunta que es razonable hacerse ahora es la siguiente: ¿qué relación guarda la métrica del modelo hiperbólico del semiespacio de Poincaré con las métricas definidas entros modelos?
O mejor dicho: dada la métrica anterior, ¿quedan totalmente determinadas las de los otros modelos?
La respuesta es sí: basta con aplicar el pullback del difeomorfismo que transforma un modelo en otro.
Por este método, podemos obtener, por ejemplo, la métrica del disco (bola en 2 dimensiones) de Poincaré: Ahora que ya sabemos cómo ir de un modelo a otro en aspectos métricos (en general, con cualquier forma diferencial podríamos hacer esto), nos restringiremos al semiespacio de Poincaré.
Más aún, por comodidad, al semiplano de Poincaré, y proporcionaremos cierta información útil.
Los únicos no nulos son: Esto nos permite encontrar el sistema de EDPs cuya solución son las geodésicas: Respecto de las soluciones, mos limitaremos a señalar aquí dos cuestiones.
Según se puede leer en la sección del semiespacio de Pincaré, las rectas verticales son geodésicas.
Como curiosidad, veamos que las rectas verticales que son geodésicas del semiplano de Poincaré no están recorridas a velocidad constante: si imponemos
Como se puede observar, el lagrangiano no es función explícita de la variable
Por tanto, se conserva el momento conjugado asociado, a saber: Naturalmente, en el caso de las rectas verticales esto se cumple, pero además nos proporciona información adicional sobre el resto de geodésicas.
La mayoría de superficies hiperbólicas tienen grupo fundamental no trivial
del semiplano superior módulo el grupo fundamental se conoce como modelo fuchsiano de la superficie hiperbólica.
El semiplano de Poincaré es también hiperbólico, pero es simplemente conexo y no compacto.
