Crecimiento exponencial
La expresión crecimiento exponencial también llamado crecimiento continuo se aplica a una magnitud tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece cada vez más rápido en el tiempo, de acuerdo con la ecuación:
Donde: Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la ecuación
Algunos fenómenos que pueden ser descritos por un crecimiento exponencial, al menos durante un cierto intervalo de tiempo, son: El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar mediante la ecuación diferencial de primer orden: (1)
es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para
La solución a esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es la ecuación de crecimiento exponencial:
(siempre y cuando el crecimiento sea positivo
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población.
Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política.
Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal.
La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.
Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente.
la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son: (2a, 2b)
La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:
, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana
Puede verse que para cualesquiera valores positivos de
en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (2b 2a, 2b) no cambian en todo el proceso.
La curva logística es un refinamiento del crecimiento exponencial.
Cuando una magnitud crece en un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento exponencial.
Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su supervivencia en altas tasas de reproducción o natalidad(estrategia
Inicialmente cuando existe un pequeño número de individuos el crecimiento es exponencial, pero a partir de cierto momento el hecho de que los recursos alimentarios del territorio no sean infinitos "satura" el crecimiento.
En esos casos el crecimiento de la población
responde a la siguiente ecuación diferencial: (3)
define la tasa de crecimiento y
es la capacidad, que está asociada a la saturación del sistema.
es pequeña, esta ecuación se parece a la ecuación (1) del crecimiento exponencial, pero para valores no despreciables frente al valor de
en donde: De acuerdo con la teoría de selección r/K: Las plantas anuales o perennes, con abundantes semillas, pequeñas, sin compuestos secundarios ni otras defensas contra la depredación son típicas de estrategia r : pinos, robles, ceibas, pastos y yerbas en general; mientras que árboles con pocas semillas, grandes, ricas en nutrientes, cargadas de alcaloides o con defensas mecánicas (espinas, cortezas duras, etc.), son típicas de estrategia K: palma de coco, aguacate, zapote.
En forma análoga, los invertebrados terrestres y acuáticos, muchas especies de peces, producen innumerables propágulos que se dispersan pasivamente, sufren altas tasas de depredación -estrategia r, vs.
También es de interés físico el decrecimiento exponencial, por el cual una cierta magnitud
con el tiempo disminuye su valor, o se "atenúa" según una ley exponencial negativa del tipo:
Algunos fenómenos que siguen procesos de decrecimiento o atenuación exponencial son:
