Forma cuadrática
de un espacio vectorial un elemento del cuerpo sobre el que está construido el espacio vectorial, de una manera que generaliza la operación
, que cumple las siguientes condiciones equivalentes: Prefijada una base
Habitualmente también que se representan mediante un polinomio de segundo grado con varias variables (tantas como la dimensión del espacio vectorial), que se obtiene desarrollando el producto
Es decir, fijada una base, hay una biyección entre formas cuadráticas de
Es evidente que tanto las formas cuadráticas como las formas bilineales simétricas definen sendos espacios vectoriales (son estables bajo combinaciones lineales con elementos del cuerpo).
Para ver la equivalencia entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas, basta encontrar una biyección entre estos dos espacios vectoriales, que no es sino el contenido del apartado b) de la sección anterior.
, respectivamente) son equivalentes si existen bases
Esto es claramente una relación de equivalencia y nos permitirá clasificar las formas cuadráticas.
Lo primero que necesitamos es ver cómo se comportan las matrices asociadas respecto del cambio de base.
Veamos ahora el resultado principal: toda forma cuadrática
Esto quiere decir, además, que el polinomio asociado a
Supongamos a partir de ahora que
y veamos qué más podemos deducir.
Es decir, queremos dar una lista de formas cuadráticas (o matrices simétricas, ya que están en biyección) tal que cualquier otra forma sea equivalente a una y sólo una de las formas de esa lista.
Podemos tomar raíces sin preocuparnos por el signo porque el cuerpo es
(pues tienen rangos distintos), de donde una forma cuadrática arbitraria
sólo puede ser equivalente a una de las anteriores.
), y podemos saber a qué clase pertenece una forma cuadrática compleja dada simplemente mirando el rango de su matriz en cualquier base (este rango es el número
y queremos hacer lo mismo que hemos hecho para los complejos, es decir, encontrar una lista de formas cuadráticas reales tal que cualquier otra sea equivalente a una y sólo una de la lista.
En el caso complejo podíamos transformar todos los elementos diagonales en 1 porque podíamos tomar raíces de los elementos diagonales fueran positivos o negativos (ver la demostración en el apartado anterior).
Sin embargo, en el caso real esto último no lo podemos hacer para elementos negativos y veremos que lo máximo que podemos hacer es transformar los coeficientes negativos en -1 (y los positivos en 1, como en el caso complejo).
De hecho, afirmamos que esta es toda la clasificación, es decir, que cualquier forma cuadrática real es equivalente a una y sólo una de las formas anteriores para ciertos
Por tanto, las matrices anteriores, como tienen estos números distintos, no son equivalentes, y habremos completado la clasificación.
Como es lineal, basta ver que su núcleo se anula.
Hemos visto que una forma cuadrática queda totalmente clasificada por el par
En la matriz resultante basta contar los elementos positivos para obtener
Una forma cuadrática es definida positiva (negativa) si todos los autovalores de su matriz asociada son positivos (negativos) Dado que A es una matriz simétrica existe una base de autovectores ortogonales
en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a
Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que
los autoespacios asociados a los autovalores máximo y mínimo respectivamente.
