Teorema rango-nulidad

En matemáticas, el teorema rango–nulidad es un teorema en álgebra lineal, que dice que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango (dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su núcleo o kernel).

una transformación lineal entonces donde es decir Sea

Supongamos que el conjunto

{\displaystyle \{\color {green}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black}\}\in V}

forma una base del núcleo de

Por el teorema de intercambio de Steinitz, podemos extender este conjunto para formar una base de

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\color {green}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black},\color {blue}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\color {black}\}\subseteq V}

Puesto que la dimensión del núcleo de

y la dimensión de

, sólo se necesita demostrar que la dimensión de la imagen de

Veamos que el conjunto

Para ello, se debe demostrar que genera a

y que es linealmente independiente.

, existen escalares únicos

{\displaystyle \color {green}a_{1},...,a_{m},\color {blue}b_{1},...,b_{n}\color {black}\in \mathbb {K} }

tales que: Por lo tanto,

{\displaystyle \{\color {blue}T(\mathbf {w} _{1}),\ldots ,T(\mathbf {w} _{n})\color {black}\}}

Ahora, sólo se necesita demostrar que el conjunto

{\displaystyle \{\color {blue}T(\mathbf {w} _{1}),\ldots ,T(\mathbf {w} _{n})\color {black}\}}

Podemos hacer esto demostrando que una combinación lineal de estos vectores es cero si y sólo si el coeficiente de cada vector es cero.

{\displaystyle \color {blue}c_{1},...,c_{n}\color {black}\in \mathbb {K} }

{\displaystyle \color {green}\{u_{i}\}_{i=1}^{m}}

{\displaystyle \color {green}d_{1},...,d_{m}\color {black}\in \mathbb {K} }

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\color {green}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black},\color {blue}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\color {black}\}}

forma una base de

, en particular es linealmente independiente y, por tanto, todos los escalares

son cero y el conjunto

{\displaystyle \{\color {blue}T(\mathbf {w} _{1}),\ldots ,T(\mathbf {w} _{n})\color {black}\}}

es linealmente independiente y forma una base de

Por definición de dimensión, esto prueba que la dimensión de