El teorema de intercambio de Steinitz es un teorema básico del álgebra lineal que se utiliza, por ejemplo, para demostrar que dos bases cualesquiera de un espacio vectorial de dimensión finita tienen el mismo número de elementos.
El teorema recibe el nombre del matemático alemán Ernst Steinitz.
Para demostrar el teorema, procedemos por inducción sobre
y tenemos que Paso inductivo: Para el paso inductivo vamos a suponer que el enunciado del teorema es cierto para
y vamos a ver que lo es para
, que es linealmente independiente y vamos a demostrar lo que dice el teorema, suponiendo, por hipótesis de inducción, que podemos afirmar lo que dice este para conjuntos linealmente independientes de cardinal
El cardinal de este conjunto es
, por lo que podemos aplicarle la hipótesis de inducción.
Haciéndolo obtenemos que (a)
, pues si no lo fueran, podríamos reordenar esa lista para ponerlos en último lugar.
Por lo tanto, (b) se puede reescribir como
Como el anterior conjunto es generador de
, pues si fuera vacío tendríamos que
no sería linealmente independiente, con lo que llegaríamos a contradicción.
, con lo que (1) queda ya demostrado.
Sólo nos queda, pues, demostrar (2).
, pues si no tendríamos que
y llegaríamos a contradicción igual que antes.
, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que
el subespacio generado por un conjunto de vectores
La primera y la penúltima igualdad se dan por definición de
, respectivamente, y la última por (b).
Sólo tenemos que probar, pues, la segunda.
, la igualdad que quedaba por probar.
Como consecuencia del teorema de intercambio de Steinitz se obtienen los siguientes resultados:
es una base y, en particular, es un conjunto generador de
es también una base, y en particular, es un conjunto linealmente independiente.
De las dos desigualdades anteriores obtenemos que
Este resultado motiva la definición de dimensión de un espacio vectorial como la cantidad de elementos que tiene cualquier base suya que consideremos.
de cardinal igual a la dimensión del espacio vectorial al que pertenece, solo hace falta comprobar una de las dos propiedades que tienen por definición las bases para demostrar que