Matriz ortogonal
El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal
{\displaystyle \scriptstyle O(n,\mathbb {R} )}
Geométricamente, las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales[1] (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales.
Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión.
En el caso real, dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica.
Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos.
un número natural y sea
Se dice que la matriz es ortogonal si:
representa la matriz traspuesta de
representa la matriz identidad.
Supongamos que la matriz de números reales es ortogonal y su determinante es +1 o -1.
a c + b d = 0 ,
Así que los números
satisfacen, además, la propiedad que la suma de sus cuadrados vale 1.
Por lo tanto, existen un par de números reales
para los cuales Por lo tanto, sustituyendo en
a c + b d = 0
cos θ sen ϕ + sen θ cos ϕ = 0
Entonces, se cumple que
Concluimos que toda matriz ortogonal de tamaño 2 puede escribirse como con
vectores fila de la matriz.
En término de estos vectores, es muy fácil expresar los elementos de la matriz que resulta de multiplicar
Puesto que la ecuación también se verifica, tenemos que los vectores columna de la matriz
también forman un conjunto ortonormal de vectores.
Como el recíproco de todo esto también es cierto, tenemos Una matriz real
es ortogonal si y sólo si sus vectores filas o vectores columna son cada uno un conjunto ortonormal de vectores.
Es en este sentido que se dice que se ha hecho una caracterización de las matrices ortogonales.
Dada una matriz, basta verificar esta propiedad entre sus vectores fila y columna para determinar si dicha matriz es o no ortogonal.
