Mecánica del sólido rígido

La mecánica de un cuerpo rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones.

Se entiende por cuerpo rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un cuerpo rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

En mecánica del cuerpo rígido, el centro de masa se usa porque tomando un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como

Sea una partícula cualquiera de un cuerpo rígido el cual se desplaza girando.

Dado que todos los puntos están rígidamente conectados podemos hacer la siguiente descomposición de posición y velocidades, tomando un punto de referencia arbitrario

Donde El momento angular es una magnitud física importante porque en muchos sistemas físicos constituye una magnitud conservada, a la cual bajo ciertas condiciones sobre las fuerzas es posible asociarle una ley de conservación.

En un instante dado, y fijado un punto del espacio en un punto del espacio O, se define el momento angular LO de un sistema de partículas respecto a ese punto como la integral siguiente:

Para el estudio de sólidos rígidos en movimiento conviene escoger un "punto móvil" (es decir, para cada instante del tiempo consideraremos un punto diferente del espacio).

Por ejemplo podemos evaluar el momento angular respecto al centro de masas G del sólido: (3) Donde se ha introducido la abreviación

El movimiento del sistema o evolución con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del espacio de configuración.

Para un cuerpo rígido con un punto inmóvil (solo existe rotación) el espacio de configuración viene dado por la variedad diferenciable del grupo de rotación SO(3).

No solo la energía cinética se puede expresar sencillamente en términos del tensor de inercia, si reescribimos la expresión (3) para el momento angular introduciendo en ella la definición del tensor de inercia, tenemos que este tensor es la aplicación lineal que relaciona la velocidad angular y el momento angular: (5)

En mecánica del sólido rígido se consideran normalmente dos sistemas de referencia: un sistema de ejes fijo o asociado a un observador inercial y otro móvil respecto al primero pero solidario con el sólido rígido.

Aunque técnicamente es posible plantear las ecuaciones de Newton para el sistema inercial relacionando las magnitudes del sistema asociado al sólido rígido mediante la matriz de rotación asociada a los ángulos de Euler, resulta un sistema de ecuaciones poco práctico debido a que en ese sistema el tensor de inercia varía con el tiempo.

son las componentes vectoriales del momento o torque total aplicado,

Como en una peonza simétrica se pueden escoger arbitrariamente los ejes 1 y 2, conviene aprovechar ese hecho para simplificar las expresiones tomando el eje 1 paralelo a la línea nodal de los ángulos de Euler lo cual equivale a que ψ = 0.

Lo cual lleva a que las velocidades angulares en el sistema de referencia no inercial vengan dadas por:

Por otro lado si se toma el eje Z del sistema de referencia alineado con el momento angular del sólido rígido se tiene que las componentes del momento angular y la relación con la velocidad angular son:

La primera ecuación nos dice que en el movimiento libre de una peonza simétrica esta no cabecea, es decir, no hay movimiento de nutación ya que el ángulo formado por eje de rotación y el momento angular se mantiene constante en el movimiento.

Una peonza asimétrica es un sólido rígido tal que ninguno de sus tres momentos principales de inercia tiene el mismo valor, es común nombrarlos en orden ascendente como:

Como solo existen tres coordenadas angulares y existen esas dos restricciones las componentes del momento angular solo pueden variar a lo largo de una curva dada por la intersección del elipsoide (6a) y la esfera (6b).

es inestable, es decir, cualquier pequeña perturbación cambia drásticamente las trayectorias del movimiento.

las funciones elípticas de Jacobi se reducen a funciones trigonométricas ordinarias, y las ecuaciones del movimiento se reducen a las de una peonza simétrica:

El principio del trabajo virtual establece que si un cuerpo está en equilibrio, entonces la suma algebraica del trabajo virtual realizado por todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo, es cero para cualquier desplazamiento virtual del cuerpo.

[1]​ La formulación cuántica se realiza mediante la cuantización de la variedad simpléctica 12-dimensional asociada a un sólido rígido.

En teoría de la relatividad no pueden existir los sólidos perfectamente rígidos.

Es sencillo entender que si una fuerza de impacto golpea un objeto, si éste fuera perfectamente rígido el extremo opuesto se pondría en marcha al mismo tiempo, pero eso viola el principio de causalidad ya que se estarían propagando una señal causal de un extremo al otro del objeto a una velocidad superior a la velocidad de la luz.

Por esa razón, los físicos introdujeron una idea menos restrictiva, conocida como "rigidez de Born" que es más débil que la "rigidez perfecta".

El concepto fue introducido por Max Born (1909),[2]​[3]​ quien dio una detallada descripción del caso de aceleración propia constante, que él llamó movimiento hiperbólico.

En teoría de la teoría de la relatividad general, la situación aún es más complicada ya que ni siquiera es posible encontrar sólido rígidos si el espacio-tiempo no tiene una curvatura espacial constante, y aun así acelerar, desacelerar o rotar los cuerpos, aun en espacios de curvatura constante, encuentra las mismas inconsistencias que se encontraron con el concepto de "rigidez de Born".