Movimiento de rotación
El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular
Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea.
La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del sólido a alterar su movimiento de rotación.
Para un planeta, o en general cualquier sólido en rotación, sobre el que no actúa un par de fuerza el momento angular se mantiene constante, aunque eso no implica que su eje de rotación sea fijo.
Los planetas con muy buena aproximación son esferoides achatados en los polos, lo cual los convierte en una peonza simétrica, por esa razón su eje de giro experimenta una rotación conocida como precesión.
En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas (es decir, son isométricas) en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interno y cuya matriz tiene la propiedad de ser ortogonal y de determinante igual a ±1.
Consecuencia de ella es que las distancias y las formas también se conservan.
[2] Como consecuencia hay dos formas de representar una única rotación, pues
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo
siendo las componentes del nuevo vector después de la rotación.
De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado.
Las rotaciones tridimensionales revisten especial interés práctico por corresponderse con la geometría del espacio físico en que vivimos (naturalmente siempre que se consideren regiones de escala mediana, ya que para distancias grandes la geometría no es estrictamente euclídea).
Las rotaciones planas son de tratamiento matemático más simple, pues se pueden reducir al caso bidimensional descrito más arriba, mientras que las cónicas son mucho más complejas y por lo general se tratan como una combinación de rotaciones planas (especialmente los ángulos de Euler y los parámetros de Euler-Rodrigues).
donde: Matricialmente este producto se puede escribir de varias maneras, bien como matriz ortogonal:
Donde: Puede comprobarse con un poco de álgebra rutinaria que la matriz anterior tiene como autovalores:
Se puede describir el movimiento de rotación cónica con operadores vectoriales que, al contrario que las expresiones matriciales, son independientes de las coordenadas.
No hay acuerdo sobre los tres ejes concretos y en la literatura científica aparecen diversos convenios; hay, en concreto, 12 posibilidades, pero lo más habitual es que se tomen zyz y zxz.
[7] Los ángulos de Euler fueron el sistema más popular en los siglos XIX y XX para representar las rotaciones, pues permiten modelizar fácilmente varios sistemas mecánicos, como los trompos, los giroscopios, los barcos y los aviones.
En el caso del trompo, los ejes se corresponden con la precesión, la nutación y la rotación.
Con ello se pierde un grado de libertad, lo que en los dispositivos mecánicos que combinan varios ejes, como los giroscopios, puede conducir a un bloqueo del sistema, conocido como bloqueo de cardán (en inglés, gimbal lock).
Los cuaterniones proporcionan un método para representar rotaciones que no presentan singularidades a costa de ser redundantes.
En mecánica cuántica también se llegó a ellos con las matrices de Pauli.
La construcción clave reside en identificar los vectores tridimensionales con números cuaterniónicos con parte real nula, y usar las tres componentes como coeficientes de la parte no real.
rerepsentable como un número cuaterniónico con parte real nula, y una rotación tridimensional dada por un giro
{\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}\mapsto v=0+v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \in \mathbb {H} \\\mathbf {v} '=R_{\mathbf {n} ,\alpha }(\mathbf {v} )\mapsto e^{\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\cdot v\cdot e^{-\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\end{cases}}}
Este enfoque está relacionado con el álgebra geométrica y los vectores i, j y k siguen las reglas algebraicas de los cuaterniones (i2 = −1, etc.).
Otras tranformaciones son la traslación, la reflexión y la inversión.
donde R es una matriz de 3x3 que representa una rotación y d las componentes del vector de tres componentes que representa el desplazamiento.
Estas tres transformaciones se llaman tranformaciones puntales pues dejan un punto fijo, y están estrechamente relacionadas.
Así, dos reflexiones según dos planos equivalen a una rotación.
