Desplazamiento angular
Cuando un cuerpo gira sobre su eje, el movimiento no puede simplemente analizarse como el de una partícula, ya que durante el movimiento circular experimenta una velocidad y aceleración cambiantes en cualquier instante (t).
Cuando se trata de la rotación de un objeto, el caso más simple es considerarlo como un sólido rígido, es decir considerar que la distancia entre todas sus partículas se mantiene constante independientemente del movimiento del cuerpo.
La rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje fijo se denomina movimiento rotativo.
Representando la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares (r, θ), en este ejemplo particular, el valor de θ está cambiando, mientras que el valor del radio sigue siendo el mismo (obsérvese que expresando su posición en coordenadas cartesianas (x, y) tanto x como y varían con el tiempo).
A medida que la partícula se mueve a lo largo de la circunferencia, recorre una longitud de arco s, que se relaciona con la posición angular a través de la relación: El desplazamiento angular se mide habitualmente en radianes o en grados.
En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con una dirección y una magnitud.
Esta expresión se denomina notación axial-angular del ángulo girado.
Supóngase que se especifica un eje de rotación según un vector unitario [x, y, z], y que se tiene una rotación infinitamente pequeña del ángulo Δθ respecto a ese vector.
es el "generador" de la rotación particular, siendo (x, y, z) el vector asociado con la matriz A.
Se puede deducir una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario[2] definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b.
En este plano se puede elegir un vector arbitrario x, con y perpendicular.
Luego se resuelve y en términos de x, y sustituyendo en una expresión una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = baT - ab T. Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, se necesita modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que dividen el espacio.
Las matrices en el álgebra de Lie no son rotaciones en sí mismas.
Las matrices antisimétricas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones.
Una "rotación diferencial" real o matriz de rotación infinitesimal tiene la forma donde dθ es extremadamente pequeño y A ∈ so(n), por ejemplo con A = Lx, Las reglas de cálculo son las habituales, excepto porque los infinitesimales de segundo orden se eliminan sistemáticamente.
Para ver esto ejemplificado, consúltese el artículo acerca del grupo de rotación SO(3).
Para detalles completos, véase el artículo dedicado a la aplicación exponencial SO (3).
Debe tenerse en cuenta que para ángulos infinitesimales, los términos de segundo orden pueden ignorarse y establecer que exp(A) = I + A
