Grupo de rotación SO(3)
Sus representaciones son importantes en física, donde permiten caracterizar las partículas elementales de espín entero.
Esto se deduce del hecho de que el producto escalar estándar entre dos vectores u y v se puede escribir únicamente en términos de longitud como: De ello se deduce que cualquier transformación que preserve la longitud en R3, conserva el producto escalar y, por lo tanto, el ángulo entre vectores.
Véase grupo clásico para un tratamiento de este enfoque más general, donde SO(3) aparece como un caso especial.
Por lo tanto, cada rotación puede representarse de manera única mediante una matriz ortogonal con un determinante unitario.
El grupo ortogonal, que consta de todas las rotaciones propias e impropias, se genera mediante reflexiones.
El grupo de Lie SO(3) es difeomórfico con respecto al espacio proyectivo real RP3.
También es difeomórfico con respecto al espacio proyectivo real tridimensional RP3, por lo que este último también puede servir como un modelo topológico para el grupo de rotación.
La segunda mitad del trayecto se puede reflejar en el lado antipodal sin cambiarlo en absoluto.
Ahora se tiene un circuito cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte a sí mismo mediante un círculo máximo.
Los puntos P en la esfera S = {(x, y, z) ∈ ℝ3: x2 + y2 + z2 = 1/4} pueden, a excepción del polo norte N, colocarse en una biyección uno a uno con los puntos S(P) = P´ en el plano M definido por z = −1/2 (véase la figura adjunta).
ya que un factor común de α, β, γ, δ se cancela.
La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g, −g ∈ SL(2, ℂ).
Usando esta correspondencia, se puede escribir Estas matrices son unitarias y por lo tanto Πu(SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, ℂ).
(2)Para el proceso contrario, considérese una matriz general Haciendo las sustituciones Con las sustituciones, Π(gα, β) se asume la forma del lado derecho de la (2), que corresponde bajo Πu a una matriz en la forma del lado derecho de la (1) con el mismo φ, θ, ψ.
[7] Esto se puede ver al deducir la condición de ortogonalidad, ATA = I, A ∈ SO(3).
Es decir, los valores propios de este operador de Casimir son donde j es un número entero o medio entero, y se conoce como espín o momento angular.
Todas las representaciones irreducibles de dimensión infinita deben ser no unitarias, ya que el grupo es compacto.
Así, en esta notación, y por lo tanto Las expresiones explícitas para estos Dj son, para j arbitrario.
Una base para su(2) está dada por[10] Estas expresiones están relacionadas con las matrices de Pauli por ti ↔ 1/2iσi.
Para mayor simplicidad, so(3) y su(2) se identifican mediante una aplicación extendiéndose por la linealidad.
La prueba utiliza las propiedades elementales de la matriz exponencial ya que las matrices A y AT conmutan.
Esto se puede probar fácilmente con la condición de matriz antisimétrica, pero no es suficiente para demostrar que so(3) es el álgebra de Lie correspondiente para SO(3), lo que se probará por separado.
Por lo tanto, por ejemplo, es fácil verificar la conocida identidad Como se muestra arriba, cada elemento A ∈ so(3) está asociado con un vector ω = θ u, donde u = (x,y,z) es un vector de magnitud unitaria.
Por lo tanto, se sabe por adelantado de la fórmula para el exponencial matricial que exp(OAOT) debe dejar u fijo.
[17] Para entender lo que esto significa, se considera Primero, pruebe la condición de ortogonalidad, QTQ = I.
Esto sugiere la diferencia más esencial en el comportamiento, que se puede apreciar con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal, Comparando los productos dAx dAy con dAydAx, Como
Este hecho útil hace que, por ejemplo, la derivación de la rotación del cuerpo rígido sea relativamente simple.
Sus elementos son funciones de valor complejo cuadráticas integrables[nb 5] en la esfera.
(H1)Si f es una función integrable cuadrática arbitraria definida en la esfera unitaria S2, entonces puede expresarse como[18]
Sin embargo, todavía se pueden definir rotaciones generalizadas que preservan este producto interno.
