es un conjunto medible que tiene medida cero.
Se puede caracterizar como un conjunto que puede ser recubierto mediante una unión numerable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.
Por ejemplo, cualquier conjunto contable no vacío de números reales tiene la medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.
donde Un son intervalos y |U| es la longitud de U.
De manera más general, cualquier unión numerable de conjuntos nulos es un conjunto nulo.
Juntos, estos hechos muestran que los conjuntos m-nulos de X forman un ideal sigma en X.
De manera similar, los conjuntos m-nulos mensurables forman un ideal sigma del σ-álgebra de conjuntos mesurables.
Por lo tanto, los conjuntos nulos se pueden interpretar como conjuntos insignificantes, definiendo la noción de casi en todas partes.
, usando n-cubos en lugar de intervalos.
En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia se ha denominado teorema de Fubini:[2] Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de la integral de Lebesgue: si las funciones f y g son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces f es integrable si y solo si g lo es, y sus integrales son iguales.
Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son medibles es completa.
En este caso, la medida de Borel no está completa.
Una construcción simple es comenzar con el conjunto de Cantor estándar K, que es cerrado y por lo tanto Borel medible, y que tiene medida cero, para encontrar un subconjunto F de K que no es medible según Borel.
Dado que la medida de Lebesgue está completa, este F es, por supuesto, medible según Lebesgue.
Primero, se tiene que saber que todo conjunto de medidas positivas contiene un subconjunto no medible.
Dado que g(x) es estrictamente monótona y continua, es un homeomorfismo.
Debido a que g es inyectiva, se tiene ese F ⊂ K, por lo que F es un conjunto nulo.
Sin embargo, si fuera medible según Borel, entonces g(F) también sería medible según Borel (aquí se usa el hecho de que la preimagen de un conjunto de Borel establecido por una función continua es medible; g(F) = (g−1)−1(F) es la preimagen de F a través de la función continua h = g−1).
Por lo tanto, F es un conjunto medible nulo, pero no de Borel.
Algunas propiedades algebraicas del grupo topológico se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar.
[4] Se han utilizado conjuntos nulos de Haar en grupos polacos para mostrar que cuando A no es un conjunto exiguo, A−1A contiene una vecindad abierta del elemento identidad.
[5] Esta propiedad lleva el nombre de Hugo Steinhaus, ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus.