Función de Cantor

En matemáticas, la función de Cantor, llamada así en honor del matemático alemán Georg Cantor, es un ejemplo de función matemática que es continua pero no absolutamente continua.

También se la conoce como la escalera del Diablo.

La función de Cantor guarda una estrecha relación con el conjunto de Cantor.

La función de Cantor

se define como sigue: Por ejemplo: Es mucho más fácil comprender la definición si miramos al gráfico siguiente: A continuación se define una sucesión

de funciones sobre el intervalo unidad que converge a la función de Cantor.

se definirá en términos de

En realidad los tres casos son compatibles en los extremos 1/3 y 2/3, porque

converge puntualmente a la función de Cantor definida anteriormente.

Más aún, la convergencia es uniforme.

En efecto, separando los tres casos, en consonancia con la definición de

, se puede ver que: Si

denota la función límite, se sigue que, para todo

Nótese también que la elección de la función inicial no importa realmente, siempre y cuando

La función de Cantor está estrechamente relacionada con el conjunto de Cantor.

puede definirse como el conjunto de los números del intervalo [0,1] que no contienen el 1 en su desarrollo en base tres.

Resulta que el conjunto de Cantor es un fractal con infinitos (no numerable) puntos (volumen de dimensión cero), pero longitud cero (volumen de dimensión uno).

Sólo el volumen D-dimensional

(en el sentido de la medida Hausdorff) toma un valor finito, donde:

es la dimensión fractal de

Podemos definir la función de Cantor alternativamente como el volumen D-dimensional de las secciones del conjunto de Cantor

un desarrollo diádico del número

en términos de dígitos binarios

, la inversa de la función

es la función de Cantor.

es la función de Cantor.

tiene un aspecto similar a la función de Cantor puesta de lado, con la anchura de los pasos aumentando a medida que

se aproxima a cero.

La función interrogación de Minkowski se parece visualmente a la función de Cantor, como si fuera una función de Cantor «suavizada», y puede construirse pasando de una expansión en fracciones continuas a una expansión binaria, de la misma forma que la función de Cantor puede construirse pasando de una expansión ternaria a una expansión binaria.

La función interrogación posee la interesante propiedad de tener derivadas que se anulan en todos los números racionales.