Dimensión fractal
es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente.
La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas.
No existe una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones que, frecuentemente, resultan equivalentes aunque no siempre.
Ninguna de estas dimensiones debería ser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas está asociada a diferencias en la estructura interna del fractal.
En cierta forma se podría decir que es demasiado grande para poder ser considerada como un objeto unidimensional, pero es demasiado fina para ser considerada un objeto bidimensional.
Esto lleva a la pregunta de si su dimensión se describe mejor con un número entre uno y dos.
Hay principalmente dos formas aproximadas para generar una estructura fractal.
[1] En este caso se sigue la segunda aproximación para definir la dimensión de las estructuras fractales.
Si se toma un objeto con un tamaño lineal igual a 1 en una dimensión euclidiana
Sin embargo, al despejar para D, la dimensión definida por
es igual todavía a su dimensión topológica o euclidiana.
[2] Aplicando la ecuación anterior a una estructura fractal, se puede obtener la dimensión de la misma (que es más o menos la dimensión de Minkowski-Bouligand) como un número no entero, como se esperaba.
es el número de estructuras autosimilares de lado lineal ε que se necesitan para cubrir toda la estructura.
Por ejemplo, la dimensión fractal para el triángulo de Sierpinski (Fig.
Otras cantidades dimensionales incluyen la «dimensión de información» que considera cómo se escala la información promedio que se necesita para identificar una caja ocupada, conforme las cajas se vuelven más pequeñas:
Para ello se genera un gran número
de puntos al azar sobre una región del espacio euclídeo
al número de puntos caen sobre el fractal, es decir,
es el número de puntos utilizados para generar una representación del fractal y
La dimensión de Rényi con α=0 trata a todas las partes del atractor de manera similar, pero para valores más grandes de α se da un mayor peso en el cálculo a las partes del atractor que son visitadas con mayor frecuencia.
Un atractor para el cual las dimensiones de Rényi no son todas iguales es conocido como un multifractal, o se dice que muestra estructura multifractal.
Esta caracterización de la dimensión fractal mediante la dimensión de Hausdorff-Besicovitch se basa en considerar una cubierta abierta por o bolas abiertas (n-esferas) del conjunto fractal, es decir, para un fractal contenido en el plano euclídeo se consideran círculos abiertos, y para un fractal contenido en el espacio euclídeo tridimensional se consideran esferas (para un fractal que sea un subconjunto de la recta real se emplean intervalos abiertos).
De todos los recubrimientos posibles se considera el ínfimo formado por bolas de diámetro menor igual que un cierto tamaño
Una vez computado ese ínfimo se considera el límite
la función anterior tiene la propiedad interesante de ser nula para
es un real positivo es precisamente la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, hecho que puede formularse como:
, se puede comprobar que tal como sucede para la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, existe un valor umbral s0, llamado dimensión de empaquetado (o dimensión de empaquetamiento), tal que:[4]
Por esa razón se puede definir la dimensión de empaquetado simplemente como:
[14] Las estimaciones prácticas basadas en la dimensiones fractales son muy sensibles al ruido numérico o experimental y están a las limitaciones en la cantidad de datos.
Cualquier afirmación basada en estas estimaciones de dimensiones fractales debe tomarse con cuidado puesto que hay un límite superior inevitable, a menos que se presenten cantidades muy grandes de datos.
