Análisis multifractal
El análisis multifractal se usa para caracterizar sistemas dinámicos, procesos o construcciones geométricas, asignándoles una función llamada espectro multifractal o espectro de singularidad.
El análisis multifractal permite caracterizaciones más precisas de un proceso que involucra fractales, ya que es un hecho conocido que la dimensión fractal por sí misma no caracteriza una estructura fractal por completo, en el sentido de que dos conjuntos de la misma dimensión fractal pueden no ser (bi-Lipschitz) equivalentes.
Existen dos enfoques dentro del análisis multifractal: Cuando se usa el enfoque de caracterizar un conjunto mediante una familia uniparamétrica de dimensiones, el conjunto multifractal se trata como una variedad topológica, frecuentemente un espacio métrico.
Un conjunto multifractal, en ese sentido, es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede a su dimensión topológica (
Si un fractal de dimensión constante está complemente descrito por su dimensión fractal o exponente fractal (y en parte por su lagunaridad), la caracterización de un objeto multifractal requiere especificar un espectro de exponentes (llamado también espectro de singularidad).
Cualquier reunión de conjuntos fractales por sí sola no puede considerarse un multifractal; para ello es necesario que estén coordinados de cierta manera.
Como norma general, se exige que el espectro de singularidad sea una curva convexa.
Los objetos aproximadamente multifractales son comunes en la Naturaleza y aparecen en geofísica, hidrodinámica (flujos turbulentos), astrofísica (evolución de las manchas solares) y cosmología (distribución de galaxias), así como en sistemas sociales.
Las estimaciones disponibles sugieren que el Universo es más bien un objeto multifractal cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch sería D0 ~ 2,1±0,1 y cuya dimensión de correlación D2 ~ 1,3±0,1.
[2] Dado un sistema multifractal y una magnitud física
medida sobre él tiene localmente un comportamiento cualitativo dado por una ley potencial de la forma:
se llama exponente de singularidad, ya que describe localmente el grado de singularidad o regularidad que presenta el comportamiento de la magnitud dada alrededor del punto
El conjunto formado por todos los puntos que comparten el mismo exponente de singularidad se llama "variedad de singularidad de exponente h".
La curva definida como el grafo de la función D(h), es lo que se llama espectro de singularidad y describe completamente la distribución (estadística) de la magnitud
En la práctica, sin embargo, el comportamiento de un sistema multifractal no se caracteriza directamente por su espectro de singularidad, sino más bien mediante los exponentes multiescala
Frecuentemente las magnitudes medibles de sistemas multifractales siguen una ley de invariancia de escala asociada a leyes potenciales asociadas a la escala
Dependiendo del objeto de estudio, dichas magnitudes denotadas mediante
Cuando un sistema presenta este comportamiento, se dice que presenta invariancia de escala, autosimilitud o multiescalaridad.
