La dimensión fractal local, dimensión puntual o exponente de Hölder es un límite definido punto a punto para ciertas medidas definidas sobre un espacio métrico y que puede ser usado para caracterizar dichas medidas.
La dimensión fractal local o exponente de Hölder de una medida finita definida sobre
l o c
{\displaystyle ({\mbox{dim}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}}
El límite anterior no siempre existe por lo que común mente se definen los límites superior e inferior para la misma magnitud:[1]
l o c
{\displaystyle {\begin{cases}({\underline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\inf {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\\({\overline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\sup {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\end{cases}}}
es un conjunto de Borel y
es una medida finita, se cumple que: Donde: El análisis multifractal de una medida finita sobre un espacio métrico se usa la dimensión fractal local, que puede diferir en algunos puntos de la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch, para definir el llamado espectro multifractal que se usa para caracterizar a la propia medida.