Será necesario añadir condiciones globales a la definición para evitar la aparición de ejemplos considerados patológicos.
Así, si sólo exigimos la condición de ser localmente euclídeo, aparecerán espacios no Hausdorff o ejemplos de espacios que no verifican el segundo axioma de numerabilidad y no son metrizables (como la línea larga o la superficie de Prüfer).
Para evitar todo esto, suelen incluirse dos condiciones más en la definición de variedad topológica.
que debe cumplir: Observaciones sobre la definición: La condición de ser localmente euclídeo garantiza que para cada punto de la variedad existe un abierto U que lo contiene y un homeomorfismo
) decimos que es una carta de M. Dicha carta nos permitirá asignar coordenadas a los puntos de la variedad contenidos en el abierto U.
En caso de poder asignar coordenadas mediante dos cartas (U1,
Así, si pedimos que el cambio de cartas sea diferenciable (resp.