En geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en
El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.
Para un desarrollo informal del tema Una variedad diferenciable representa una generalización, en dos aspectos básicos, del concepto de superficie diferenciable: Antes de hacer la segunda generalización, podríamos pensar que una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos".
Pero para hacer una definición formal necesitaremos que esta no haga alusión a un posible embebimiento de la variedad en un espacio ambiente.
La definición formal precisa fue introducida por primera vez por Hermann Weyl en 1913.
Pero esta condición no sería consistente si realizamos un cambio de carta.
En efecto, si observamos su expresión en otra carta: necesitaremos para mantener la consistencia que el cambio de cartas representado por el último paréntesis sea diferenciable.
En cualquier caso, para evitar confusiones, todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable.
Muchas de las técnicas del cálculo multivariable son aplicables mutatis mutandis en variedades diferenciables.
Podemos definir la derivada direccional de una función diferenciable en la dirección marcada por un vector tangente a la variedad.
Existen varias generalizaciones que captan ciertas características formales de la derivación en espacios euclídeos.
Las principales son: Las ideas del cálculo integral también pueden extenderse a las variedades diferenciables.
Encontrarán su expresión natural en el lenguaje del cálculo exterior con formas diferenciables.
En una variedad abstracta, al no considerarse embebida en ningún espacio ambiente, no podremos visualizar el espacio tangente como un subespacio afín del ambiente.
diferenciable en un entorno cualquiera de p, y nos devuelve su derivada en la dirección marcada por
que satisfaga: El conjunto de vectores tangentes en un punto forman un espacio vectorial de la misma dimensión que la variedad llamado espacio tangente en p y notado como
En principio, espacios tangentes en puntos distintos no son comparables.
Formalmente, F es diferenciable si para todo punto p de M podemos encontrar una carta
Una aplicación diferenciable induce un homomorfismo de espacios vectoriales
Dada una variedad topológica, nos podemos preguntar si admitirá siempre una estructura diferenciable
En primer lugar, según un teorema debido a Whitney, en cualquier variedad con una estructura
La existencia y unicidad está garantizada en dimensiones menores que 4: La situación es diferente en dimensión superior: Algunos ejemplos: Existen al menos dos maneras de definir lo que es una variedad diferenciable, ambas equivalentes: por medio de parametrizaciones o por medio de aplicaciones coordenadas.
Además, en el caso de espacios euclídeos existe una serie de definiciones equivalentes que son más sencillas que en el caso general.
un conjunto (en principio pudiera ser vacío, pero es un caso trivial),
es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos los atlas sobre
Existen al menos cuatro maneras (todas equivalentes entre sí) de definir una variedad diferencial cuando se las considera como subconjuntos de un espacio euclídeo.
Cada una de ellas es útil, y dependiendo del contexto o de la dificultad del problema se usará una u otra, o incluso se combinarán varias a la vez.
, o simplemente diremos que la variedad viene dada implícitamente por
En este caso podemos tomar como representación implícita local para cada punto de
, se le denomina representación explícita local de la variedad