Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.
una función cuyas derivadas parciales de primer orden existen en todo
Se define la matriz jacobiana de
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas.
Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático.
La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera
se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal
entonces su diferencial está dada por JF(p).
O con mayor precisión: En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones, puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación lineal jacobiana.
y en este caso la matriz jacobiana es una matriz cuadrada, por lo que podemos calcular su determinante, este es conocido como el determinante jacobiano.
El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de
Este es el teorema de la función inversa.
Más aún, el valor absoluto del determinante en
expande o contrae su volumen cerca de
es continua y no singular en el punto
es invertible cuando se restringe a un entorno de
y Si el determinante jacobiano es diferente de cero en un punto entonces la función es localmente invertible cerca de este punto, esto es, existe un entorno de este punto en el que la función es invertible.
es una función diferenciable, un punto crítico de
es un punto en el que el rango de la matriz jacobiana es no maximal.
, un punto es crítico si el determinante jacobiano es cero.
La matriz Jacobiana establece una relación entre dos sistemas de referencia (espacios vectoriales), de manera que mediante una transformación (el jacobiano o matriz jacobiana), se pueda expresar un vector de un primer sistema, a otro sistema.
Algo así como un traductor de un espacio vectorial a otro.
En Robótica de Manipuladores, se usa para deducir posibles puntos de una configuración que traerán dificultades para el movimiento, llamados puntos singulares o singularidades.
dada por cuyas funciones componentes son es La matriz jacobiana NO siempre es cuadrada.
, cuyas funciones componentes son: tiene asociada como matriz jacobiana La transformación de coordenadas polares
está dada por: y su determinante, o el jacobiano, es pues: y esto puede ser utilizado para transformar integrales entre dos sistemas de coordenadas: Pero al cogerse siempre
dada por: es: El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde
(es decir, los valores para los que el determinante se hace cero).
Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.
Cambiando un poco la función anterior por ésta: El determinante jacobiano quedará: En este caso existen más valores que anulan al determinante.