En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación (función) sea invertible localmente en un entorno de un puntoen términos de su derivada en dicho punto.Técnicamente es un teorema de existencia local de la función inversa.El teorema puede enunciarse para aplicaciones eno se puede generalizar a variedades diferenciables o espacios de Banach.{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}}y tal que{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(A)}{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(f(A))}{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}{\displaystyle U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}es un difeomorfismo de clasees un difeomorfismo de clasecontinua y diferenciable en todo punto deExiste una versión del teorema en espacios de Banach, que es una generalización de lo anterior.Sin embargo, la versión presentada es la que se presenta frecuentemente en la literatura puesto que su comprensión es más fácil.La demostración del teorema no es sencilla, puede consultarse en las referencias puesto que entre se requiere aplicar el teorema del punto fijo de Banach y la norma matricial además de otros resultados del análisis matemático que se obtienen de la caracterización de la convexidad.f ( x , y ) = (Su matriz jacobiana en cualquier{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}, aplicando el teorema, para cada punto existe un abiertoEn este contexto, el teorema afirma que dada una aplicación F : M → N entre dos variedades diferenciables, la diferencial de F, es un isomorfismo lineal (es decir, isomorfismo entre espacios vectoriales) en un punto p de M, si y sólo si existe un entorno abierto U de p tal que es un difeomorfismo.Dicho de otro modo, la diferencial de F es un isomorfismo en todos los puntos p de M si y sólo si la aplicación F es un difeomorfismo local.El teorema de la función inversa sólo garantiza localmente la existencia de una función inversa.Los requerimientos para la existencia de una inversa global son algo más complicados y no quedan garantizados por el cumplimiento de las condiciones del teorema de la función inversa.De hecho dada una función diferenciable:Puede demostrarse que existe una constanteTal que la función f admite inversa global, donde uf es el vector desplazamiento asociado a la función definido como la resta vectorial entre la imagen de un punto y su posición inicial:Para una demostración con detalles véase: Para ejemplos de aplicación práctica:
La función es continua y derivable en torno a cero.
