En topología diferencial, un difeomorfismo es un isomorfismo en la categoría de las variedades diferenciables (es decir, un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable).Como tal un difeomorfismo es una aplicación que posee aplicación inversa, por supuesto estas dos aplicaciones son diferenciables.Si estas aplicaciones son r veces continuamente diferenciables, esto es son miembros deentonces f es un Cr-difeomorfismo o difeomorfismo de clase Cr.si existe un difeomorfismo f entre ellas.Las transformaciones regulares son llamadas difeomorfismos de la clasees regular si: Dado un subconjuntoy una función diferenciable (suave)(nótese que g es una extensión de f).Se dice además que f es un difeomorfismo si es biyectiva, diferenciable y su inversa diferenciable.Si U, V son subconjuntos abiertos conexos detales que V es además simplemente conexo, una aplicación diferenciable f : U → V es un difeomorfismo, si es una aplicación propia y si la aplicación progrediente o diferencial Dfx : Rn → Rn es biyectiva en todo punto x de U.Es esencial que U sea simplemente conexo para que la función f sea globalmente invertible (si únicamente se exige la condición de que la derivada sea biyectiva en cualquier punto).Por ejemplo, considérese la "realificación" de la función compleja z2: Entonces f es suprayectiva y satisfaceasí Dfx es biyectiva en todos los puntos aunque f no admite inversa, porque no es biyectiva, e.g., f(1,0) = (1,0) = f(−1,0).Puesto que cualquier variedad puede ser parametrizada localmente mediante, podemos considerar algunas aplicaciones explícitas:
La imagen de una retícula ortogonal definida sobre un cuadrado, obtenida a partir de un
difeomorfismo
del cuadrado en sí mismo, conservando invariante el contorno.
