Aplicación progrediente
La aplicación progrediente o pushforward es una aplicación asociada a una aplicación entre variedades diferenciables, que permite asociar campos tensoriales definidos sobre la primera variedad con campos definidos sobre la segunda.
Supóngase que φ : M → N es una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables; entonces la [aplicación] diferencial de φ en un punto x es, en un cierto sentido, la mejor aproximación lineal de φ alrededor del punto x.
Explícimente es una aplicación lineal que va desde el espacio tangente a M en el punto x al espacio tangente a N en el punto φ(x).
De ahí, que se use el término push 'empujar' en inglés o progrediente (del latín prōgrediens 'que avanza hacia delante') ya que "lleva hacia delante" vectores de M hasta superponerlos con vectores de N. La diferencial diferancial (también llamada aplicación tangente) asociada a una aplicación φ también es llamada simplemente derivada o derivada total de φ, y a veces se llama incluso pushforward.
Sea φ:U→V una aplicación diferenciable desde un conjunto abierto U de Rm hasta un conjunto abierto V de Rn.
La aplicación progrediente pretende generalizar esto al caso en que φ sea una aplicación continua entre dos variedades diferenciales cualquiera M y N. Además la aplicación progrediente puede generalizarse a objetos tensoriales definidos sobre el espacio tangente a una variedad.
Sea φ: M → N una aplicación lineal entre variedades diferenciables.
definida en el espacio tangente de M en el punto x al espacio tangente de N en el punto φ(x).
La aplicación dφx del espacio vectorial tangente X se llama aplicación progrediente o pushforward de X por φ.
Por ejemplo, si los vectores tangentes en un punto x se definen como clases de equivalencia de las curvas que pasan a través de x entonces la aplicación diferencial viene dada por:
En otras palabras, la aplicación progrediente del vector tangente a la curva γ en 0 es precisamente el vector tangente a la curva φ∘γ en 0.
Por otra parte, si los vectores tangentes se definen como derivaciones que actúan sobre funciones reales diferenciables, entonces la diferencial viene dada por
Escogiendo cartas locales alrededor de x y φ(x), F viene determinada localmente por la aplicación diferenciable:
Extendiendo por linealidad esto da la siguiente matriz:
Por tanto la diferencial es una aplicación lineal, entre espacios tangentes, asociados a ala aplicación diferenciable φ en cada punto.
Por tanto, en ciertas coordenadas locales, se representa por una matriz jacobiana de Rm en Rn.
Si φ es un difeomorfismo local, entonces la aplicación progrediente en x es invertible y su inversa da precisamente la aplicación regrediente en Tφ(x)N. La aplicación diferencial frecuentemente se expresa usando una gran variedad de notaciones distintas, entre las más comunes son:
Equivalentemente, φ* = dφ es una aplicación entre fibrados de TM al fibrado regrediente φ*TN sobre M, que podría a su vez ser visto como una sección del fibrado tangente Hom(TM,φ*TN) sobre M. Dada una aplicación diferenciable φ:M→N y un campo vectorial X sobre M, no siempre es posible definir una campo sobre N que sea la imagen por la aplicación progrediente de X asociada a φ.
Por ejemplo, si la aplicación φ no es suprayectiva, no existe ninguna manera natural de definir una "progresión" (extensión de imagen por la aplicación progrediente) fuera de la imagen por φ.
De la misma manera, si φ no es inyectiva puede haber más de una elección para dicha "progresión" en un punto dado.
Aun así, es posible hacer esta dificultad precisa, usando la noción de campo vectorial a lo largo de un mapa.
Una sección del fibrado tangente de φ*TN sobre M se llama campo vectorial a través de φ.
Esta idea se generaliza a aplicaciones diferenciables cualesquiera.
Supóngase que X es un campo vectorial sobre M, i.e., una sección de TM.
Entonces, aplicando la aplicación diferencial puntualmente a X se tiene la aplicación progrediente φ*X, que es un campo vectorial a través de φ, i.e., una sección de φ*TN sobre M.
