En matemáticas, dentro del dominio del análisis, la regla de la cadena (también conocida como el teorema de las funciones compuestas) es una fórmula explícita de la derivada de una función compuesta por dos funciones derivables.
depende de una segunda variable
Existen muchas formas de escribir la regla de la cadena, presentaremos aquí las formas clásicas.
son funciones diferenciables, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición
y el producto de funciones como Alternativamente, si
y a su vez esta depende de
, en tal caso, la regla de la cadena enuncia que y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada Las versiones de la regla de la cadena en la notación de Lagrange y de Leibniz son equivalentes en el sentido que si
Si las funciones son diferenciables en todo su dominio podemos escribir de una forma más general
Bajo esta misma condición, utilizando la notación de Leibniz si denotamos como
tenemos que la regla de la cadena puede escribirse como
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(f\circ g)}{dx}}&={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}\end{aligned}}}
y obtenemos: Si queremos componer muchas funciones podemos hacer lo siguiente: dadas
es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz) TeoremaSean E, F dos espacios vectoriales normados y G un espacio vectorial topológico separable.
Si g es diferenciable en el punto a y f diferenciable en el punto g(a) entonces f∘g es diferenciable en el punto a, y
, podemos escribir esto en la forma siguientepara todo
, desde la definición de la derivada, existe una función
puesto que ella es diferenciable en ese punto): La tasa de variación en el punto
Existe una demostración de este teorema, aparentemente más simple que utiliza la astucia pero esta demostración es errónea porque ella supone que
También podemos considerar el caso de la función
Entonces: En consecuencia: La regla de la cadena puede ser utilizada para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto; para esto, consideremos las funciones
, utilizando primero la regla del producto: para todo
notemos que puede escribirse como la composición de
, aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como para todo
, que es la fórmula de la regla del cociente.
Considere la función diferenciable e invertible
satisfacen la ecuación en donde derivando ambas expresiones obtenemos Para expresar
en sus respectivos dominios, la invertibilidad y diferenciabilidad de una función no implica que esta última condición sea satisfecha por su inversa (conocido es el caso de la función
entonces por la fórmula anterior Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora.
La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores).
Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.