La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula.
En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,[1] considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.
[2] Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:
n
n
f ( g ( x ) ) = ∑
n !
n
n
n
n
( g ( x ) ) ⋅
n
{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!
}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}}
, donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m1, …, mn) que satisfacen la restricción:
A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:
f ( g ( x ) ) = ∑
( g ( x ) ) ⋅
{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!
}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!
Combinando los términos con el mismo valor de m1 + m2 + ... + mn = k y notando que m j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de Polinomios de Bell Bn,k(x1,...,xn−k+1):
f ( g ( x ) ) =
( g ( x ) ) ⋅
n , k
( n − k + 1 )
{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}