Métodos de integración
, un método de integración nos permite encontrar otra función lo cual, por el teorema fundamental del cálculo, equivale a hallar una función
De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna función elemental.
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa.
Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuación: El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que si entonces El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales.
El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo.
Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena.
Antes de enunciar el teorema, considere un ejemplo simple para integrales indefinidas.
Frecuentemente este método es utilizado pero no todas las integrales permiten el uso de este método, en los casos en los que sí es posible, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.
Para integrales definidas, los límites de integración deben cambiarse pues estos deben estar en términos de la nueva variable pero el procedimiento es similar.
Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.
son funciones continuas entonces Típicamente se encuentra la fórmula como sigue: Si
son dos funciones continuas, si omitimos los argumentos y sólo escribimos
entonces por la regla del producto tenemos que que puede ser escrito como integrando ambas lados de la igualdad Esto es La integración por partes es útil cuando la función a integrar puede considerarse como el producto de una función
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función
Se desea calcular la integral si procedemos por el método de integración por partes entonces luego donde
El segundo ejemplo es similar al anterior sólo que ahora se desea integrar una función trigonométrica inversa Procediendo por el método de integración por partes se tiene que luego El segundo truco consiste en utilizar la integración por partes para hallar
Se desea calcular la integral Procediendo por el método de integración por partes se tiene que Entonces Utilizando el método de integración por partes puede demostrarse que para
en el factor elevado a la potencia par, es decir Al hacer el cambio de variable Tendremos que Cuando
respectivamente, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo y en ocasiones, es útil usar la identidad: por lo que Se desea calcular Nótese que la potencia impar la tiene la función seno, por lo que estamos en el primer caso siendo
y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
, es decir Al hacer el cambio de variable la integral se transforma en Si
, es decir Al hacer eso cambio de variable entonces la integral se transforma en Supóngase que sólo se desea integrar la función
un número impar entonces para calcular se procede por el método de integración por partes.
recordando que Para otros casos, las directrices no son tan claras, podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva.
por medio de la fórmula establecida: Se necesitará también la integral indefinida de la secante: Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue: Primero se mutiplican numerador y denominador por la función
, es decir Al realizar el cambio de variable por lo que la integral se convierte en: Por lo tanto NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes, sólo basta recordar la identidad La sustitución de Weierstrass es una sustitución que permite convertir una función racional de funciones trigonométricas en una función racional sin funciones trigonométricas.
Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios: Si el denominador es un polinómico mónico
con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles: Si
A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico.
El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
