La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como la medida de Lebesgue–Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación finita en la línea real.
Las integrales de Lebesgue–Stieltjes, nombradas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes, son también conocidas como las integrales de Lebesgue–Radon o simplemente integrales de Radon, debido a Johann Radon, a quien se debe mucha de la teoría.
Ellos encontraron aplicaciones en común entre las probabilidades y los procesos estocásticos, y en ciertas ramas del análisis matemático incluyendo la teoría del potencial.
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }
y continua por la derecha, o cuando
Para empezar, se asume que
es no negativa y que
es monótona no decreciente y continua por la derecha.
surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos.
Esta medida es llamada comúnmente como[1] la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g. La integral de Lebesgue–Stieltjes puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μg en la manera usual.
Si g es no decreciente, entonces se define siendo la última integral definida por la construcción precedente.
Tanto g1 como g2 son monótonas no decrecientes.
Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.
Una aproximación alternativa (Hewitt y Stromberg, 1965) es definir la integral de Lebesgue–Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann–Stieltjes.
Sea g una función no ascendente continua por la derecha en [a,b], y I(ƒ) la integral de Riemann–Stieltjes para toda función continua ƒ.
La operación I define una medida de Radon sobre [a,b].
Esta operación puede ser extendida a la clase de todas las funciones no negativas definiendo y Para funciones medibles por Borel, se tiene y ambos lados de la identidad definen la integral de Lebesgue–Stieltjes de h. La medida externa μg es definida a partir de donde χA es la función característica de
Integradores de variación finita son manejados de igual forma a la anterior, descomponiendo en variaciones positivas y negativas.
es una curva corregible en el plano y
Entonces se puede definir la longitud de
con respecto a la métrica euclidiana medida por
Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo.
se considera "regular" en un punto
, y la función toma el valor promedio, :
de variación finita, si en cada punto
son regulares, entonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes: Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones
de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces donde
Cuando g(x) = x para todo número real x, entonces μg es la medida de Lebesgue, y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f. Cuando f es una función continua con valores reales de una variable real, y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue–Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en cuyo caso usualmente se escribe para la integral de Lebesgue–Stieltjes, manteniendo implícita la medida μv.
Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando v es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, en cuyo caso (Ver el artículo integral de Riemann-Stieltjes para mayor información acerca del tratamiento de estos detalles.)