Proceso estocástico
En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para representar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico.
puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.
Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos han inspirado a su vez la propuesta de nuevos procesos estocásticos.
[11][12] Los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se utilizan indistintamente, a menudo sin un espacio matemático específico para el conjunto que indexa las variables aleatorias.
[11][13] Pero a menudo estos dos términos se utilizan cuando las variables aleatorias están indexadas por los enteros o un intervalo de la recta real.
[13] Si las variables aleatorias están indexadas por el plano cartesiano o algún espacio euclidiano de dimensiones superiores, entonces la colección de variables aleatorias suele llamarse campo aleatorio.
[14] Los valores de un proceso estocástico no son siempre números y pueden ser vectores u otros objetos matemáticos.
[25][26][27] La teoría de los procesos estocásticos se considera una importante contribución a las matemáticas[28] y sigue siendo un tema activo de investigación tanto por razones teóricas como por sus aplicaciones.
[29][30][31] Muchos campos utilizan observaciones en función del tiempo (o, más raramente, de una variable espacial).
En los casos más sencillos, estas observaciones dan lugar a una curva bien definida.
En realidad, desde las ciencias de la tierra hasta las humanidades, las observaciones suelen producirse de forma más o menos errática.
Por lo tanto, la interpretación de estas observaciones está sujeta a una cierta incertidumbre, que puede reflejarse en el uso de probabilidades para representarlas.
Desde un punto de vista estadístico, consideramos todas las observaciones disponibles x(t) como una realización del proceso, lo que da lugar a ciertas dificultades.
Por lo tanto, es imposible representar la realidad a la perfección.
Una segunda dificultad, mucho más grave, es que, a diferencia del problema de las variables aleatorias, la información disponible sobre un proceso se reduce generalmente a una única realización.
Se suele distinguir entre procesos de tiempo discreto y continuo, con valores discretos y continuos.
Si el conjunto T es contable, se llama proceso discreto o serie temporal, si el conjunto es incontable se llama proceso continuo.
La diferencia no es fundamental: en particular, la estacionariedad, la constancia de las propiedades estadísticas en función del tiempo, se define de la misma manera.
Ni siquiera se trata de una diferencia práctica, ya que los cálculos sobre un proceso continuo se realizan mediante el muestreo de una realización del proceso.
La diferencia está más bien en la actitud hacia el uso de una única realización.
Estos últimos sustituyen las integrales utilizadas por los primeros por sumas algebraicas.
Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales: Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes: Un proceso se dice «de tiempo continuo» si
es un conjunto numerable (solamente puede asumir determinados valores, usualmente se toma
toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico.
El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Borel
le corresponde un valor de una variable aleatoria
Se llama proceso aleatorio al valor en
es una filtración,[33] se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en
se llama la trayectoria asociada al suceso
