Camino aleatorio
Por ejemplo, la ruta trazada por una molécula mientras viaja por un líquido o un gas, el camino que sigue un animal en su búsqueda de comida, el precio de una acción fluctuante y la situación financiera de un jugador pueden tratarse como una caminata aleatoria.
[1] Los resultados del estudio de las caminatas aleatorias han sido aplicados a muchos campos como la computación, la física, la química, la ecología, la biología, la psicología o la economía.
[2][3][4][5][6][7][8][9] En particular en este último campo la teoría del paseo aleatorio de Burton G. Malkiel en su obra Un paseo aleatorio por Wall Street se fundamenta en la hipótesis de los mercados eficientes, desarrollado en tres formas o hipótesis.
En física el modelo ha servido, por ejemplo, para modelar el camino seguido por una molécula que viaja a través de un líquido o un gas (movimiento browniano).
Algunos caminos aleatorios se dan en grafos finitos, otros en la recta, en el plano, o en dimensiones mayores, mientras algunos caminos aleatorios se dan en grupos.
En su forma más general, las caminatas aleatorias son cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende solo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso.
es la variable aleatoria que describe la ley de probabilidad para tomar el siguiente paso y
Los paseos aleatorios pueden ocurrir en cualquier número de dimensiones, ser parciales o imparciales, discretos o continuos en el tiempo y/o espacio, y pueden violar la homogeneidad en algún número de formas.
En el estudio de la teoría general de las caminatas aleatorias, aparece con bastante frecuencia que el espacio donde se requiere realizar la caminata, puede ser modelado como cierto grafo.
Caminatas aleatorias en grafos surgen en muchos modelos en matemáticas y en física.
De hecho, ésta es una de esas nociones que empiezan a aparecer en todas partes una vez se empieza a buscarlas.
Barajar el mazo de cartas, corresponde a una caminata aleatoria en este grafo.
[10] Recientemente caminatas aleatorias en grafos más generales, aunque finitos, han recibido mayor atención, y los aspectos estudiados son más cuantitativos: cuánto se debe caminar hasta llegar a la posición inicial, hasta llegar a un vértice dado o hasta pasar por todos los vértices del grafo.
Todas esas conexiones son fructíferas y dan tanto herramientas para el estudio como oportunidades para encontrar nuevas aplicaciones.
Tal como la terminología sugiere, se puede imaginar un electrón viajando por el grafo donde este junto a la función
En el caso de una red eléctrica la partícula sería más precisamente un electrón.
por una constante positiva, no hay cambio en la caminata aleatoria asociada.
Una cadena como la descrita anteriormente, en la cual si la partícula se encuentra en un vértice
, una partícula que parta de cualquier vértice en algún momento regresará a este.
(En dos dimensiones el resultado análogo dice que cualquier línea será cruzada un número infinito de veces).
El origen de este último nombre es el siguiente: si un jugador con una cantidad finita de dinero juega a un juego no sesgado contra una banca con infinito dinero, siempre termina perdiendo.
La cantidad de dinero del jugador efectuará un paseo aleatorio según vaya ganando o perdiendo, y siempre, en algún momento, alcanzará el 0 y el juego terminará.
es grande es menos probable que partiendo de un vértice se pueda llegar nuevamente a él.
es 3 o más, la cadena es transitoria para todos los valores de los parámetros
Como ilustración de lo anterior, imaginemos ahora un borracho caminando aleatoriamente por una ciudad cuyas calles forman una malla cuadrada.
En cada cruce, el borracho elige una de las cuatro posibles direcciones que dan a ese cruce (incluyendo aquella por la que ha venido) con la misma probabilidad.
Pero si realizamos un problema similar con 3 o más dimensiones, no sucede así.
En otros términos, un pájaro despistado podría vagar al azar por el cielo por siempre sin encontrar nunca su nido.
Esencialmente todas las cadenas de Márkov reversibles pueden ser interpretadas como caminatas aleatorias en grafos.
Para ser más precisos, si la longitud del paso es ε, se necesita que el paseo tenga longitud L/ε² para que se aproxime a un paseo de Wiener de longitud L.[12] Según el límite de la longitud del paso tiende a 0 (y en consecuencia se aumenta el número de pasos necesarios para completar el paseo) el paseo aleatorio converge a un proceso de Wiener en un sentido apropiado.
