Proceso de Wiener
Frecuentemente este tipo de procesos se denominan movimiento browniano estándar, en honor a Robert Brown.
Matemáticamente, es un caso particular de proceso de Lévy (procesos estocásticos de tipo càdlàg con incrementos estadísticamente independientes y estacionarios) que aparece con frecuencia en matemática pura y aplicada, economía y física.
En matemática pura, los procesos de Wiener han dado lugar al estudio de martingalas en tiempo continuo.
Estos procesos son el fundamento sobre la base de la cual se pueden construir procesos estocásticos más complejos.
En matemática aplicada, los procesos de Wiener se usan para representar la integral de un ruido blanco definido como proceso gaussiano, y también es útil para modelizar el ruido de interferencia en ingeniería electrónica, los errores instrumentales en teoría de filtros y para modelizar fuerzas aleatorias en teoría del control.
El proceso de Wiener tiene aplicaciones en numerosas ciencias.
También desempeña un papel prominente en la teoría matemática de las finanzas y en particular es clave para derivar la ecuación de Black-Scholes para determinar el precio de determinados activos financieros.
un espacio de probabilidad, un proceso estocástico
se define como un proceso de Wiener estándar si satisface:[1] Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy que afirma que un proceso de Wiener es casi seguramente una martingala continua con
Una tercera caracterización es que un proceso de Wiener admite una representación espectral como una serie trigonométrica cuyos coeficientes son variables aleatorias independientes con distribución
Esta representación puede ser obtenida usando el teorema de Karhunen-Loève.
Una última caracterización del proceso de Wiener es la integral definida (entre
de un proceso gaussiano con media cero, varianza unidad y delta correlacionado ("ruido blanco normalizado").
Esta construcción es una consecuencia del teorema de Donsker.
Como el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo cual significa que vuele a un entorno de un punto de partida casi con seguridad) mientras que no es recurrente en dimensión
La covarianza y correlación del proceso están dadas por Para demostrar la primera de ellas consideremos los siguientes casos: Si
