Teorema de Karhunen-Loève

Si X e Y son variables aleatorias, el producto interno está definido por El producto interno está bien definido en caso de que X e Y tengan momentos de segundo orden finitos, es decir, que X e Y sean de cuadrado integrable.Por ejemplo, para variables aleatorias cuyo valor esperado es nulo, la covariancia y el producto interno son idénticos.En el enunciado del teorema, la integral que define Zi puede ser definida como el límite en la media de sumas de Cauchy de variables aleatorias: donde Dado que el límite en la media de variables aleatorias Gaussianas conjuntas es Gaussiana conjunta, y dado que las variables aleatorias Gaussiana conjuntas (centradas) son independientes si y solo si son ortogonales, podemos concluir que: Teorema.En el caso Gaussiano, dado que las variables Zi son independientes, podemos agregar: casi seguramente.Existe una secuencia {Wi}i de variables aleatorias Gaussianas independientes con media nula y varianza unitaria tal que: La convergencia es uniforme en t y en la norma L2, es decir uniformemente en t.