Producto escalar

[6]​ Esta expresión equivale al producto matricial de una matriz fila y de una matriz columna, por lo que también se puede escribir el producto escalar usual como: donde se sigue el convenio de escribir los vectores en columna yEl valor numérico del producto escalar es igual al producto de los módulos de los dos vectores y del coseno del ángulo entre ellos, lo que permite utilizar el producto escalar para estudiar conceptos típicos de la geometría euclídea en dos y tres dimensiones, como las longitudes, los ángulos y la ortogonalidad.El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos, a los que pueden trasladarse estos mismos conceptos geométricos.El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación (« · »).Si se describen los vectores geométricamente, en términos de su módulo, dirección y sentido, es posible definir el producto escalar de forma que tenga una interpretación geométrica.Si se representan los vectores como partiendo de un mismo punto, sus flechas formarán un ángulo.Al tratarse de una suma de cuadrados, todos los sumandos son no-negativos, y solo es cero cuando todas las componentes son cero, es decir, cuando U es el vector nulo.En otro caso es un número real positivo que, por aplicación sucesiva del teorema de Pitágoras, equivale al cuadrado de la distancia entre el origen de coordenadas y el punto extremo del vector U.o dicho de otro modo, el módulo (o norma) del vector U es la raíz cuadrada del producto escalar de U consigo mismo.Siempre es posible obtener un vector unitario en la dirección de cualquier vector no nulo v, multiplicándolo por el inverso de su norma.A este proceso se le denomina normalización del vector v.[8]​ Aplicando el teorema del coseno al triángulo definido por dos vectores u y v, se tiene que[10]​ Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí.Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).En otras palabras, es la sombra que proyecta un vector sobre el otro.Las expresiones anteriores son utilizadas en el método de Gram-Schimdt para obtener una base ortonormal.es el conjugado del escalar complejo c.[13]​ En consecuencia, un producto interno definido en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva.Por tanto, en un espacio vectorial real, un producto interno es una forma bilineal simétrica definida positiva.Alternativamente, se suele representar la operación mediante el símbolo del punto ([14]​ Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert.Todo producto interno induce una forma cuadrática, que es definida positiva, y viene dada por el producto de un vector consigo mismo.Así mismo, induce una norma vectorial de la siguiente manera:[15]​ Citamos a continuación algunos productos estudiados generalmente en la teoría de los espacio prehilbertianos.En el producto escalar usual, este cociente es igual al coseno del ángulo entre los dos vectores.Si se expresan los vectores mediante sus coordenadas respecto de cierta baseLas expresiones anteriores se pueden generalizar a espacios de n dimensiones.Se pueden definir y manejar espacio no euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes.En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métricodel espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente