Producto mixto
En matemática, el producto mixto (o también conocido como triple producto escalar) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener de resultado un escalar.
El producto escalar es una operación entre dos vectores
que da como resultado un número (un escalar), y está definido como
Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado
Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):
) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto vectorial, definido mediante el determinante
son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes
es igual al área del paralelogramo determinado por
son paralelos (colineales) si y sólo si
Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto escalar.
Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores.
no tiene mucho sentido porque el resultado del primer producto es un escalar
y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un vector.
Sin embargo, cuando los vectores son elementos de
, podemos combinar el producto escalar con el producto vectorial para definir una nueva operación entre tres vectores, que se denomina producto mixto pues el resultado será una cantidad escalar.
El producto mixto de los vectores
Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del producto mixto a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la sustitución del producto vectorial: en donde hemos usado que
Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo de un determinante, esto es:
La similitud que existe entre las fórmulas de determinantes para calcular el producto vectorial y el producto mixto tienen su paralelo en el siguiente teorema: Si
es igual al volumen del paralelepípedo definido por
Así, la norma de un producto cruz representa el valor de un área, mientras que la norma de un producto mixto representa un volumen.
corresponde al área del paralelogramo que forman los vectores
es la altura del paralelogramo, como indica la figura,
es el área del paralelogramo de la base y
La interpretación geométrica anterior proporciona un tercer criterio geométrico de estilo similar a los señalados para los otros productos.
Lo anterior se sigue de que el volumen del paralelepípedo tendrá volumen cero si y sólo si los vectores que los definen están en un mismo plano.
A partir de la fórmula de determinante podemos obtener el valor del producto mixto cuando los vectores aparecen en distinto orden.
, puesto que intercambiando filas de un determinante corresponde a cambiar de signo el valor.
En general, intercambiar el orden de dos términos en el triple producto escalar corresponde a un cambio de signo.
Realizando esta transposición de términos dos veces regresamos al valor original y así obtenemos la siguiente relación cíclica:
