Paralelogramo

En el campo de la geometría, un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.

[1]​ La congruencia de lados opuestos y ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado paralelo euclidiano y ninguna condición puede probarse sin apelar al postulado paralelo euclidiano o una de sus formulaciones equivalentes.

La contraparte tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo.

La etimología (en griego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, una forma "de líneas paralelas") refleja la definición.

En comparación, un cuadrilátero con un solo par de lados paralelos es un trapezoide en inglés americano o un trapezium en inglés británico.

Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo».

Todas las fórmulas de área para cuadriláteros convexos generales se aplican a los paralelogramos.

Otras fórmulas son específicas de los paralelogramos: Un paralelogramo con base b y altura h se puede dividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo, y reorganizarse en un rectángulo, como se muestra en la figura A la izquierda.

Esto significa que el área de un paralelogramo es igual a la de un rectángulo con la misma base y altura: La fórmula del área base × altura también se puede derivar usando la figura de la derecha.

El área del rectángulo es y el área de un solo triángulo es Por lo tanto, el área del paralelogramo es Otra fórmula de área, para dos lados B y C y ángulo θ, es El área de un paralelogramo con lados B y C (B ≠ C) y ángulo

y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelogramo en "dos" triángulos congruentes.

Existe una identidad geométrica que relaciona los lados de un paralelogramo con sus diagonales, llamada regla del paralelogramo.

En notación matemática, se representa mediante la siguiente fórmula: donde A, B, C, y D son los vértices del paralelogramo.

Puesto que los lados son iguales dos a dos, la fórmula suele representarse simplificada: Sean los vectores

la matriz con elementos de a y b.

Entonces el área del paralelogramo con vértices en a, b y c es equivalente al valor absoluto del determinante de una matriz construida usando a, b y c como filas con la última columna rellenada usando unos como sigue: Para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, utilizaremos las propiedades de los triángulos congruentes (ya que son ángulos que una transversal forma con líneas paralelas AB y DC).

Además, el lado AB tiene la misma longitud que el lado DC, ya que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Por lo tanto, los triángulos ABE y CDE son congruentes (postulado ASA, dos ángulos correspondientes y el lado incluido).

Por lo tanto, Como las diagonales AC y BD se dividen entre sí en segmentos de igual longitud, las diagonales se bisecan entre sí.

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones que sus lados (aunque en distinto orden).

Si ABC es un triángulo automediano en el que el vértice A está opuesto al lado a, G es el centroide (donde se cruzan las tres medianas de ABC), y AL es una de las medianas extendidas de ABC con L situada en la circunferencia de ABC, entonces BGCL es un paralelogramo.

Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (es decir, no se autointerseca), entonces el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Para una elipse, se dice que dos diámetros son conjugados si y sólo si la recta tangente a la elipse en un extremo de un diámetro es paralela al otro diámetro.

A cada par de diámetros conjugados de una elipse le corresponde un paralelogramo tangente o paralelogramo circunscrito, a veces llamado paralelogramo límite, formado por las rectas tangentes a la elipse en los cuatro extremos de los diámetros conjugados.

Todos los paralelogramos tangentes a una elipse dada tienen la misma área.

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados, o a partir de cualquier paralelogramo tangente.

Un paralelepípedo es una figura tridimensional cuyas seis caras son paralelogramos.