Teorema del coseno
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados: Teorema del coseno Dado un triángulo ABC cualquiera, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía.
En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.
[3] Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos: Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf.
2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[5] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.
[6][7] Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno.
La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.
[8] Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Conviene en efecto remarcar que Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en dos casos.
, equivalente al Teorema del coseno.La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso.
La figura muestra Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da
Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así: (left)
Sumando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:
c2 = a2 - b2 - 2b(a cos(γ) - b) Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.
Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6.
Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras.
Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo.
Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.
Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas: Cualquiera que sea el triángulo ABC se cumple que Si el ángulo γ es igual a 90°, la proposición se traduce al Teorema de Pitágoras, puesto que cos 90°=0.
Este verifica Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo: En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal[12] [BC], [AC] y [AB] (ver Fig.
Para hacerlo, Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos: En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio euclídeo, siendo: (La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).
Entonces, las superficies y ángulos verifican: Se afirma: Un paralelogramo cuyos lados miden a y b, formando un ángulo de 90°-γ, tiene un área de ab cos(γ).
Dividiendo el paralelogramo por medio de una diagonal arroja dos zonas triangulares.
Se hace notar también que la demostración es independiente de cual de las diagonales del paralelogramo se escoja, puesto que sen(θ)=sen(180°-θ).
En la demostración del Teorema del coseno usando potencia de un punto, se afirma que el segmento CK en el diagrama mide precisamente -2a cos(γ).
La demostración más sencilla consiste en prolongar el segmento CB hasta cortar nuevamente la circunferencia en un punto D, de modo que CD es un diámetro del círculo, puesto que pasa por el centro del mismo.
