Convexidad

La convexidad (del latín convexĭtas, -ātis) de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica, es decir, que tiene su parte sobresaliente dirigida al observador.

: Nótese que en esta fórmula, la suma de los coeficientes

En un conjunto no convexo cada segmento que muestra la no convexidad tiene forzosamente que atravesar por lo menos dos veces (en E´y F´) el borde o la frontera del conjunto

Intuitivamente, esto dice que, por cada punto en el borde del conjunto

existe solamente en el hiperplano con ángulo que subtiende a ese vector trasladado por

En el caso de una frontera diferenciable (sin puntos angulosos) se pueden considerar sus tangentes (ya que existe un único vector normal a la superficie), y resulta bastante intuitivo que los convexos se caracterizan por hallarse enteramente del mismo lado de cada tangente; es decir que las tangentes nunca atraviesan C (como en el punto A de la figura).

Se llama envolvente convexa de un conjunto dado C al menor (por inclusión) conjunto convexo que contiene a C (es fácil ver que siempre existe).

Se establece con facilidad que la envoltura convexa es el conjunto de todos los baricentros positivos (es decir con coeficientes todos positivos) de los puntos del conjunto inicial.

Se dice que una función real, definida sobre un intervalo es convexa si el dominio del plano situado por encima de su curva (en gris en la figura) lo es.

Sin sorpresa, las consideraciones anteriores se aplican: Solo importa la frontera del dominio, es decir la curva de ecuación

Si la función f es derivable entonces la convexidad equivale a la condición siguiente:

que significa que la pendiente de la cuerda entre dos puntos x y x' está contenida entre los valores extremos de la derivada.

Esto equivale al que la derivada sea creciente, en todo el dominio de f .

Es fácil verificar que los tres ejemplos anteriores son convexos:

Usando esta definición, solamente funciones afines son tanto cóncavas como convexas.

En particular, no es difícil comprobar que si se tiene una función

El caso contrario también es cierto: si una función es tanto cóncava como convexa, entonces es afín; esta observación se desprende directamente de la definición de convexidad.

Cada subconjunto A del espacio vectorial está contenido dentro de un conjunto convexo más pequeño (llamado envolvente convexa de A), es decir, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen A.

Para la suma de Minkowski además, el conjunto cero {0} que contiene solo el vector nulo 0 tiene importancia especial: Para cada subconjunto no vacío S de un espacio vectorial

Este resultado es más general para cada colección finita de conjuntos no vacíos:

[4]​ El siguiente teorema famoso, probado por Dieudonné en 1966, da una condición suficiente para que la diferencia de dos subconjuntos convexos cerrados sea cerrada.

Tenga en cuenta que si S está cerrado y convexo, entonces

Sean A y B subconjuntos no vacíos, cerrados y convexos de un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que

La noción de convexidad en el espacio euclidiano puede generalizarse modificando la definición en unos u otros aspectos.

Sea C un conjunto en un espacio vectorial real o complejo.

Algunas otras propiedades de los conjuntos convexos también son válidas.

La definición de un conjunto convexo y una cápsula convexa se extiende naturalmente a las geometrías que no son euclidianas al definir un conjunto geodésicamente convexo como uno que contiene las geodésicas que unen dos puntos cualesquiera del conjunto.

Un conjunto convexo no es conexo en general: el subespacio da un contraejemplo {1,2,3} in Z, que es a la vez convexa y no conexa.

Para la convexidad ordinaria, se cumplen los dos primeros axiomas y el tercero es trivial.

Para una definición alternativa de convexidad abstracta, más adecuada para la geometría discreta, consulte las geometrías convexas asociadas con las antimatroides.