Línea geodésica
En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie.
Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.
Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la distancia más corta entre dos puntos en el espacio.
Un ejemplo físico, de variedad semirriemanniana es el que aparece en la teoría de la relatividad general, que establece que las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvo.
Una variedad Riemanianna (M, g) es una variedad diferenciable dotada de una estructura adicional de espacio métrico que permite generalizar conceptos de la geometría euclídea a espacios más generales.
En concreto, el espacio tangente a cada punto se dota de un producto escalar, que determina la métrica en la variedad, dada por:
donde <,> es el producto escalar anteriormente definido y p es cualquier punto de la variedad M. En función de esta métrica, la longitud LC a lo largo de una curva contenida en ella se evalúa gracias a las componentes gij del tensor métrico g del siguiente modo:
{\displaystyle L_{C}=\int _{C}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt}
En ese caso las ecuaciones de Euler-Lagrange proporcionan las curvas geodésicas.
posee una estructura afín que permite 'conectar' espacios tangentes de distintos puntos de una forma natural.
, lo cual permite diferenciar campos vectoriales de manera sencilla e intuitiva.
Este no es el caso para variedades Riemannianas más generales, en las que los espacios tangentes a cada punto son espacios vectoriales abstractos, de modo que no tiene sentido realizar operaciones directamente entre ellos.
De forma intuitiva, aplicando las técnicas del cálculo en
, si quisiéramos calcular la derivada del campo
pertenecen a espacios vectoriales distintos y la operación anterior no tiene sentido.
Para ello surge el concepto de conexión afín.
, entonces podemos expresar la conexión en función de las coordenadas locales.
es la restricción del campo X a la curva c. La expresión anterior particulariza el concepto de conexión afín a las restricciones de campos sobre una curva integral.
Definimos derivada covariante a lo largo de una curva como:
La derivada covariante es una generalización de la aceleración en variedades Riemannianas.
se dice paralelo a lo largo de una curva
si su derivada covariante se anula a lo largo de esta.
En efecto, si tomamos la expresión de la derivada covariante e igualamos a 0 obtenemos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias:
Es decir, las geodésicas son curvas cuyo vector tangente es un campo paralelo a lo largo de sí misma.
Esto implica, en efecto, que las geodésicas tienen aceleración intrínseca nula.
Para entender esto mejor, imaginemos que nuestra variedad es la esfera unidad
todavía tendrían aceleración normal distinta de 0.
Ese vector aceleración normal, no obstante, no pertenece al espacio tangente a un punto de la esfera, de manera que, intrínsecamente, para un observador que viviera en la esfera, efectivamente esa curva se recorrería sin aceleración.
En particular un meridiano que atraviese los polos norte y sur, responde a las ecuaciones paramétricas: (**)
es la inversa del homeomorfismo de una carta en el fibrado tangente.
