Curva

En matemática (inicialmente estudiado en geometría elemental y, de forma más rigurosa, en geometría diferencial), la curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.

Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son la elipse, la circunferencia, el óvalo o la cicloide; ejemplos de curvas abiertas, la parábola, la hipérbola y la catenaria y una infinidad de curvas estudiadas en la geometría analítica plana.

Además, una recta es la imagen homeomorfa de un intervalo abierto.

[1]​ Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1.

En geometría, una curva en el n-espacio euclidiano es un conjunto

que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación continua

{\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}}

Curva, en el plano o en el espacio tridimensional, es la imagen de un camino γ, que se considera con derivada continua a trozos en el intervalo de definición .

[7]​ Sea γ una curva elemental y sea a < t < b el segmento abierto del que se obtiene la aplicación f de la curva correspondiente al punto t del segmento.

[7]​ La curva, según esta definición, pueden ser muy intrincadas, de muy diverso tipo.

Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual

Este matemático demostró en 1890 que un cuadrado relleno entra dentro de la definición de Jordan, pues logró representar todos los puntos del mismo utilizando dicha definición: trazó todos los puntos del cuadrado con una única curva.

Pero es claro que un cuadrado no es, en el sentido convencional del término, una curva.

de puntos del espacio se denominara curva simple si es conjunto conexo y si para todo punto

del mismo existe un entorno tal que la parte de

{\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}

Si además la función anterior es inyectiva en el intervalo

entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual significa que su longitud de arco está bien definida y es posible calcular su longitud.

es continua pero no diferenciable, por lo que su longitud entre el punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.

Una curva cerrada simple es homeomorfa al círculo

es una curva diferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejes a y b.

[9]​ Se llama entorno de un punto W de una curva simple δ la parte común de la curva δ y un entorno espacial del punto W. Por tanto , todo punto de una curva simple posee un entorno que conforma una curva elemental.

[10]​ Formalmente, dada una curva C representada por la ecuación paramétrica: en un intervalo I cualquiera, es suave si sus derivadas son continuas en el intervalo I y no son simultáneamente nulas, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo.

La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el espacio euclídeo tridimensional o, más generalmente, curvas contenidas en variedades de Riemann.

, una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por su curvatura y torsión.

Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamado triedro de Frênet-Serret, que se explica a continuación.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, binormal y normal como:

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como triedro de Frênet-Serret.

Cuando el número de puntos no es finito puede darse el caso de una curva continua no sea rectificable en ningún punto, eso significa que la tangente no puede definirse en ningún punto.

En esos casos la longitud de la curva no es un número finito y puede darse el caso que la curva tenga una longitud infinita aun cuando ocupe una región finita del espacio.