[1] La cicloide ha sido llamada «La Helena de los geómetras» ya que causó frecuentes disputas entre matemáticos del siglo XVII.
El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo del filósofo sirio Jámblico como evidencia de que la curva era probablemente conocida en la antigüedad.
[5] El nombre de Galileo Galilei fue presentado al final del siglo XIX[6] y al menos un autor da el crédito a Marin Mersenne (monje, antiguo amigo de Descartes).
[13] En esta obra, Bovelles identifica erróneamente el arco trazado por una rueda de rodadura como parte de un círculo mayor con un radio un 120 % más grande que la rueda más pequeña.
[5] Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio riguroso de la curva.
[5] Sin embargo, este trabajo no fue publicado hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles).
Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644,[14] en la primera obra impresa sobre la cicloide.
En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistócrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide.
Como ya se ha señalado, debido a las continuas disputas entre los matemáticos del siglo XVII la cicloide ha sido denominada "La Helena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan que esta denominación poética podría hacer referencia a las bellas propiedades de esta curva, que atrajeron a los matemáticos de la época.
Fueron muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que posteriormente han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.
Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio r que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por: donde
es un parámetro real, correspondiente al ángulo girado por el círculo rodante.
], y proporciona solo la mitad del primer bucle de la cicloide.
La tangente a la cicloide pasa por el punto «superior» del círculo generador.
El seno del ángulo formado por la tangente a la cicloide en el punto
y la vertical , es proporcional a la raíz cuadrada de la «altura» del punto
La única curva que satisface las condiciones de la proposición ángulo tangente-vertical, y pasa por el punto
son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes.
Todas estas curvas son ruletas, con un círculo envolviendo una trayectoria de curvatura uniforme.
Las cicloides, epicicloides e hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es semejante a su evoluta.
Si q es el producto de esa curvatura por el radio del círculo, con signo positivo para epi- y negativo para hipo-, entonces la curva evoluta homotética es 1 + 2q.
En otras palabras, es la curva de descenso más rápida para conectar dos puntos dados.
El semiarco de una cicloide es también una curva tautócrona, es decir, una curva tal que cualquier punto material dejado caer sin velocidad inicial en la curva llega a un punto dado (el que tiene la menor altura de la cicloide) en un tiempo independiente del punto de partida.
Finalmente, es una curva isócrona en el sentido de Huygens, es decir, tal que un punto material que se mueve sin fricción tiene un movimiento periódico cuyo período es independiente de la posición inicial.
[18] Estas dos últimas propiedades explican su uso en el diseño de péndulos cicloidales en relojería.
Las propiedades especiales de la curva cáustica hacen que la cicloide también se use en óptica.
También se usó en el diseño del Hopkins Center en Hanover (Nuevo Hampshire).
En el diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del siglo XX.
En física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.
[cita requerida] Un juguete clásico, el espirógrafo, permite trazar curvas hipotrocoides y epitrocoides.