Homeomorfismo
En topología, un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = ‘misma’ y μορφή (morphē) = ‘forma’) es una función de un espacio topológico a otro, que satisface tres condiciones: es biyectiva, es continua y su inversa también es continua.
En tal caso se dice que los dos espacios, el de partida y el de llegada, son homeomorfos.
Cuando dos espacios topológicos son homeomorfos, los conjuntos abiertos de ambos espacios están en correspondencia biyectiva, por lo que la estructura topológica de ambos es idéntica.
Las propiedades que se conservan bajo homeomorfismos, que por tanto son intrínsecas de dicha estructura, se denominan propiedades topológicas o invariantes topológicos.
[1] De modo intuitivo, dos espacios son homeomorfos cuando uno de ellos puede «deformarse sin romperse» hasta obtener el otro.
Por ejemplo, Un cubo y una esfera son sólidos homeomorfos.
A diferencia de la geometría euclidiana, que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes bajo movimientos rígidos, la forma o las distancias no son relevantes desde el punto de vista de la topología.
[2] En cambio, la topología estudia la relación de vecindad entre unos puntos y otros: cuestiones como la separación, la conectividad o la compacidad, entre otras muchas.
Sin embargo, no todas las transformaciones continuas preservan estas propiedades; por ejemplo, un segmento de recta se puede deformar continuamente hasta un único punto, pero dicha transformación no es invertible y por tanto no es un homeomorfismo.
[3] En la categoría de espacios topológicos, los morfismos son las funciones continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos.
En consecuencia, el conjunto de todos los homeomorfismos
La definición de homeomorfismo es la siguiente: HomeomorfismoSean
Una consecuencia inmediata de la definición es que la inversa
Todo espacio topológico es homeomorfo a sí mismo (la función identidad es un homeomorfismo).
A las clases de equivalencia bajo esta relación se les denomina clases de homeomorfismo.
es continua si para todo conjunto abierto de
hace corresponder biyectivamente cada conjunto abierto de
La estructura topológica de un espacio consiste precisamente en su colección de conjuntos abiertos.
Por tanto, todos los espacios de una misma clase de homeomorfismo tienen exactamente las mismas propiedades topológicas, es decir, desde el punto de vista de la topología son todos iguales.
Dependiendo del contexto, se puede determinar si una función es un homeomorfismo si satisface algunas condiciones, que son equivalentes a la definición dada más arriba (o según el caso, si dos espacios son homeomorfos):
entre espacios topológicos en la que para cada punto de
Los homeomorfismos locales respetan la estructura topológica localmente, es decir, en la vecindad de cada punto del espacio, pero no necesariamente para el espacio globalmente.
es un homeomorfismo local entre la recta real y la circunferencia unidad (como subconjunto del plano complejo).
En cada intervalo abierto de longitud inferior a
, dicha función se comporta como un homeomorfismo, pero
En general las aplicaciones recubridoras, como la del ejemplo, son homeomorfismos locales.
Todo difeomorfismo es un homeomorfismo, pero no al contrario: por ejemplo, un disco y un cuadrado son homeomorfos, pero no difeomorfos.
En física los difeomorfismos son ampliamente usados:
