Las relaciones entre estos espacios, que preservan esta noción de cercanía, son las funciones continuas.
son las funciones continuas inyectivas (es decir, aquellas donde puntos diferentes del espacio de partida van a parar a puntos diferentes en el espacio de llegada).
Los epimorfismos son las funciones continuas sobreyectivas (aquellas donde todos los puntos del espacio de llegada son "alcanzados" por algún punto del espacio de partida).
Los isomorfismos son los homeomorfismos (funciones continuas que tienen una inversa continua, esencialmente "deformaciones" que no rompen ni pegan el espacio).
El conjunto vacío (considerado como un espacio topológico) es el objeto inicial de
para referirse a la categoría con las variedades topológicas (espacios que localmente se "parecen" a un espacio euclidiano) como objetos y funciones continuas como morfismos.
tiene una rica estructura y varias propiedades importantes, que nos dicen cómo podemos construir y manipular espacios topológicos dentro de este marco: