Teoría de categorías
La teoría de categorías fue introducida en topología algebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, como un paso crucial para la transición desde homología a teoría de la homología.
Stanislaw Ulam afirma que existían ideas parecidas en la escuela polaca de los años 1930.
[1] Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsados por las necesidades computacionales del álgebra homológica y más tarde por las necesidades axiomáticas de la geometría algebraica.
La teoría general -cierta actualización del álgebra universal con muchas características nuevas que daban pie a una cierta flexibilidad en semántica y lógicas de orden superior- vino más tarde.
La Lógica Categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para la Lógica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, todas enmarcadas en una categoría cartesianamente cerrada como descripciones no sintácticas del cálculo lambda.
El uso del lenguaje de la teoría de las categorías le permite a uno aclarar qué tienen exactamente en común todas estas áreas.
Por ejemplo, la clase de los grupos: en vez de estudiar los objetos individuales (cada grupo) como se vino haciendo, se enfatizan dichos morfismos entre ellos, que no son otra cosa que las aplicaciones que "conservan su estructura".
Ciertas "construcciones naturales", como el grupo fundamental de un espacio topológico, pueden ser expresadas como funtores.
Además, dichos funtores están muy a menudo naturalmente relacionados y esto lleva al concepto de transformación natural.
objetos iniciales/finales, entonces los siguientes conjuntos de morfismos solo tienen un elemento: como
, diremos que es un isomorfismo de categorías, si
Espacio vectorial dual: un ejemplo de un funtor contravariante desde la categoría de todos los espacios vectoriales reales a la categoría de todos los espacios vectoriales reales está dado por la asignación a cada objeto (cada espacio vectorial real) un objeto llamado espacio dual y a cada morfismo (esto es, a cada aplicación lineal), su dual o traspuesta.
Álgebra de las funciones continuas: un funtor contravariante desde la categoría de los espacios topológicos (cuyos morfismos son las aplicaciones continuas) a la categoría de las álgebras asociativas reales, es dado asignando a cada espacio topológicoX el álgebra C(X) de todas las funciones reales continuas sobre tal espacio.
Esto es un funtor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, esto es, es un funtor Abop x Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de los grupos abelianos con los homomorfismos de grupos).
Si f : A1 → A2 and g : B1 → B2 son morfismos en Ab, entonces se tiene este homomorfismo Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2) dado por φ |→ g o φ o f. Funtores 'Olvido', o 'Forgetful': el funtor F : Ring → Ab que aplica un anillo hacia su grupo subyacente abeliano es un funtor que olvida ("forgetful"), que nos crea una imagen de algo más "rico" en un objeto más pobre, con menos estructura.
Álgebras de Lie: A cada grupo de Lie real o complejo se le asigna su real (o compleja) Álgebra de Lie, con lo que se define un funtor.
(Esto es equivalente a que, f sea una aplicación continua desde el círculo unidad en el plano complejo tal que f(1) = x.)
Llamamos a tal función un lazo en X.
Es fácil comprobar que este h también es un lazo.
Se puede probar que esto define una relación de equivalencia.
Nuestra regla de composición asegura que todo vaya bien.
Ahora, además, podemos ver que se tiene un elemento neutro e(t) = x (una aplicación constante) y que cada lazo tiene un lazo inverso.
Se puede comprobar que la aplicación desde la categoría de espacios topológicos con punto base a la categoría de grupos es funtorial: un (homo/iso)morfismo topológico se hará corresponder naturalmente a un (homo/iso)morfismo de grupos.
Si X es un espacio topológico, entonces los conjuntos abiertos en X pueden ser considerados como los objetos de una categoría CX; existiendo un morfismo de U a V si y sólo si U es un subconjunto de V.
En sí misma, esta categoría no es muy excitante, pero los funtores desde CXop hacia otras categorías, llamados pre-haces sobre X, son interesantes.
Por ejemplo, asignando a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de las funciones reales sobre U, se obtiene un pre-haz de álgebras sobre X.
Este ejemplo de motivación se generaliza mediante la consideración de pre-haces sobre categorías arbitrarias: un pre-haz sobre C es un funtor definido sobre Cop.
Aunque hay fuertes interrelaciones entre todos ellos, el orden en que los damos puede ser considerado una guía para posteriores lecturas.
Los dos textos de Lawvere son las introducciones más sencillas que existen.
El de Mac Lane es uno "clásico" en esta materia, y el Borceaux es una pequeña enciclopedia.
