Propiedad universal
En matemáticas, más específicamente en la teoría de categorías, una propiedad universal es una propiedad que caracteriza salvo isomorfismo el resultado de algunas construcciones.
Por lo tanto, las propiedades universales se pueden utilizar para definir o caracterizar algunos objetos, independientemente del método elegido para construirlos.
Por ejemplo, las definiciones de los números enteros a partir de los números naturales, de los números racionales a partir de los números enteros, de los números reales a partir de los números racionales y de los anillos polinómicos del campo de sus coeficientes se pueden hacer en términos de propiedades universales.
En particular, el concepto de propiedad universal permite una demostración simple de que todas las construcciones de números reales son equivalentes: basta con probar que satisfacen la misma propiedad universal.
Técnicamente, una propiedad universal se define en términos de categorías y funtores por medio de un morfismo universal (ver la definición formal, abajo).
Los morfismos universales también pueden ser concebidos de manera más abstracta como objetos iniciales o terminales de una categoría de coma.
Las propiedades universales ocurren en casi todas partes en matemáticas, y el uso del concepto permite el uso de propiedades generales de las propiedades universales para probar fácilmente algunas propiedades que de otro modo necesitarían verificaciones aburridas.
Por ejemplo, dado un anillo conmutativo
, el cuerpo de fracciones del anillo cociente de
(todas estas construcciones se pueden definir mediante propiedades universales).
Otros objetos que pueden definirse por propiedades universales incluyen: todos los objetos libres, productos directos y sumas directas, grupos libres, retículos libres, grupo de Grothendieck, compleción de un espacio métrico, compleción de un anillo, topología producto, compactificación de Stone-Čech, producto tensorial, límite inverso y límite directo, kernels y cokernels, grupos cociente, espacio vectorial cocientes, y otros espacio de cocientes.
Antes de dar una definición formal de las propiedades universales, ofrecemos algunas motivaciones para estudiar tales construcciones.
Para entender la definición de una construcción universal, es importante considerar algunos ejemplos.
Las construcciones universales no se definieron de la nada, sino que se definieron después de que los matemáticos comenzaron a notar un patrón en muchas construcciones matemáticas (ver ejemplos a continuación).
Por lo tanto, la definición puede no tener sentido para uno al principio, pero queda aclarada cuando se reconcilia con ejemplos concretos.
{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
En lo que sigue, sea
sean objetos de
A continuación, el funtor
Un morfismo universal de
que tiene la siguiente propiedad, comúnmente conocida como una propiedad universal: Para cualquier morfismo de la forma
, existe un morfismo único
tal que el siguiente diagrama conmuta: Podemos dualizar este concepto categórico.
Un morfismo universal de
que satisface la siguiente propiedad universal: Para cualquier morfismo de la forma
, existe un morfismo único
tal que el siguiente diagrama conmuta: Téngase en cuenta que en cada definición, las flechas están invertidas.
Ambas definiciones son necesarias para describir las construcciones universales que aparecen en matemáticas; pero también surgen debido a la dualidad inherente presente en la teoría de categorías.
En cualquier caso, decimos que el par
que se comporta como arriba satisface una propiedad universal.
