Número racional
El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.
El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien
, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (del latín quotiens [2] adaptado como 'cociente' a varios idiomas europeos).
[3] En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible.
[4] Los matemáticos de la antigua Grecia consideraban que dos magnitudes eran conmensurables si era posible encontrar una tercera tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tuvieran una medida entera.
El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales.
[5] Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos números enteros, palabra cuya raíz proviene del latín ratio,[6][7] y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de la antigua Grecia a estos números.
(técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros).
Una vez trasformadas las fracciones, usamos las mismas ecuaciones de “cuando ambos denominadores son positivos”.
[10] Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma: La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.
En otra notación, Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación s·x=r, s≠0.
son: Todo número real admite una representación decimal ilimitada, y esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico).
Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa.
En el siguiente cuadro vemos la demostración de esto, es decir, de que un número es racional si y sólo si su representación decimal es finita o periódica.
[11] Veamos la primera implicación: toda expresión decimal finita o periódica representa un número racional.
Veamos ahora, recíprocamente, que todo número racional tiene una expresión decimal finita o periódica.
Por tanto, los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos: Así, si una forma decimal no es de ninguno de estos tipos, es decir, es infinita y no periódica, no representará un número racional.
son irracionales, deducimos no pueden tener una expresión decimal periódica.
Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma
enteros), así como en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.
Téngase en cuenta que las operaciones definidas no son más que la formalización de las operaciones habituales entre fracciones: Se denota como [(a,b)] a la clase de equivalencias que corresponde con las distintas representaciones de un mismo número racional
Posee elementos simétricos para las operaciones de suma y producto.
Así, el elemento simétrico respecto de la suma para cualquier número racional
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma:
(siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y
un número primo y para todo entero no nulo
no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos
El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre
