En el caso de que sea posible efectuar la división, esta consiste en indagar cuántas veces un número (divisor) está «contenido» en otro número (dividendo).Si b = 0, entonces se trata de una división por cero, que no está definida.Aquellas en las que se define una división euclídea (con resto) se denominan dominios euclídeos e incluyen anillos polinómicos en una indeterminada (que definen la multiplicación y la suma sobre fórmulas de una sola variable).Aquellos en los que se define una división (con un único resultado) por todos los elementos distintos de cero se denominan campos y anillo de división.Por ejemplo, 20 manzanas se dividen en cinco grupos de cuatro manzanas, lo que significa que veinte dividido por cinco es igual a cuatro.A diferencia de las otras operaciones básicas, al dividir números naturales a veces hay un resto que no va uniformemente al dividendo; por ejemplo, 10 / 3 deja un resto de 1, ya que 10 no es múltiplo de 3.[6] Cuando el resto se guarda como fracción, da lugar a un número racional.La división se considera tradicionalmente como asociativo izquierdo.Es decir, si hay varias divisiones seguidas, el orden de cálculo va de izquierda a derecha:[9][10] La división es derecho-distributiva sobre la suma y la resta, en el sentido de que Lo mismo ocurre con la multiplicación, ya queSin embargo, la división no es distributiva por la izquierda, ya que Por ejemploSi la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo,[cita requerida] la operación tendrá un resto o residuo, donde: Etimología: la palabra deriva del latín dividere: partir, separar.En álgebra y ciencias, la división se denota generalmente a modo de fracción, con el dividendo escrito sobre el divisor.; este es el modo más corriente en los lenguajes de programación por computadora u ordenador, puesto que puede ser fácilmente inscrito como secuencia simple del código ASCII.Otro modo de indicar una división es por medio del símbolo óbelo (La división no es propiamente dicho una «operación» (es decir, una ley de composición interna definida por todas partes), sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números fraccionarios.También se usa un diagrama equivalente con la línea debajo del dividendoConsideremos el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ...n, ...} de los números naturales y sean a,b no nulo, c números naturales, diremos que si Si es así se dirá que a es el dividendo; b, el divisor; y c, el cociente si existe.[11] Sin embargo, dados dos números naturales a y b ≠ 0, existen dos únicos números naturales q y r tal que se cumplen las relacionesExisten criterios de divisibilidad para números enteros (por ejemplo, todo número terminado en 0,2,4,6 u 8 será divisible entre 2), utilizados particularmente para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.La división en ℚ siempre es posible, toda vez que el divisor no sea nulo.Se puede definir de la manera siguiente:[13] dados p/q y r/s, Esta definición demuestra que la división funciona como la operación inversa de la multiplicación.Se define como en donde r y s no son ambos iguales a 0.[15] En forma exponencial: La división euclídea es la formulación matemática del resultado del proceso habitual de división de números enteros.Afirma que, dados dos enteros, a, el dividendo, y b, el divisor, tales que b ≠ 0, existen unos únicos enteros q, el cociente, y r, el resto, tales que a = bq + r y 0 ≤ r < |b|, donde |b| denota el valor absoluto de b.Aparte de que la división por cero es indefinida, el cociente no es un entero a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor.Estos lenguajes también proporcionan funciones para obtener los resultados de los otros casos, ya sea directamente o a partir del resultado del caso 3.Las definiciones varían con respecto a la división de enteros cuando el dividendo o el divisor es negativo: redondeo puede ser hacia cero (la llamada división T) o hacia -∞ (división F); pueden ocurrir estilos más raros - véase operación módulo para los detalles.La división de dos números racionales p/q y r/s se puede calcular comoLas cuatro cantidades son números enteros, y sólo p puede ser 0.Esta definición asegura que la división es la operación inversa de la multiplicación.
